Найти площадь криволинейной трапеции ограниченной прямыми x=a x=b Ox если a=2 b=1 F(x)=x2+1 2)a=0 b=2 F(x)= x3+1

Для решения задачи необходимо найти площади под кривыми, заданными функциями, в указанных интервалах. ### 1) Найти площадь криволинейной трапеции для функции \( F(x) = x^2 + 1 \) на отрезке от \( x = 1 \) до \( x = 2 \). Для этого необходимо вычислить определенный интеграл от функции \( F(x) \) на промежутке от 1 до 2. \[ \int_{1}^{2} (x^2 + 1) \, dx \] 1. **Найти первообразную**: - Первообразная для \( x^2 \) — это \( \frac{x^3}{3} \). - Первообразная для \( 1 \) — это \( x \). Получаем: \[ \int (x^2 + 1) \, dx = \frac{x^3}{3} + x + C \] 2. **Подставить пределы интегрирования**: \[ \left[\frac{x^3}{3} + x\right]_{1}^{2} \] 3. **Вычислить интеграл**: \[ \left(\frac{2^3}{3} + 2\right) - \left(\frac{1^3}{3} + 1\right) = \left(\frac{8}{3} + 2\right) - \left(\frac{1}{3} + 1\right) \] \[ = \left(\frac{8}{3} + \frac{6}{3}\right) - \left(\frac{1}{3} + \frac{3}{3}\right) \] \[ = \frac{14}{3} - \frac{4}{3} = \frac{10}{3} \] Итак, площадь первой трапеции равна \(\frac{10}{3}\). ### 2) Найти площадь криволинейной трапеции для функции \( F(x) = x^3 + 1 \) на отрезке от \( x = 0 \) до \( x = 2 \). \[ \int_{0}^{2} (x^3 + 1) \, dx \] 1. **Найти первообразную**: - Первообразная для \( x^3 \) — это \( \frac{x^4}{4} \). - Первообразная для \( 1 \) — это \( x \). Получаем: \[ \int (x^3 + 1) \, dx = \frac{x^4}{4} + x + C \] 2. **Подставить пределы интегрирования**: \[ \left[\frac{x^4}{4} + x\right]_{0}^{2} \] 3. **Вычислить интеграл**: \[ \left(\frac{2^4}{4} + 2\right) - \left(\frac{0^4}{4} + 0\right) = \left(\frac{16}{4} + 2\right) - 0 \] \[ = 4 + 2 = 6 \] Итак, площадь второй трапеции равна 6. Таким образом, площади криволинейных трапеций составляют \(\frac{10}{3}\) и 6 соответственно.