Найти площадь криволинейной трапеции ограниченной прямыми x=a x=b Ox если a=2 b=1 F(x)=x2+1 2)a=0 b=2 F(x)= x3+1
Для решения задачи необходимо найти площади под кривыми, заданными функциями, в указанных интервалах.
1) Найти площадь криволинейной трапеции для функции \( F(x) = x^2 + 1 \) на отрезке от \( x = 1 \) до \( x = 2 \).
Для этого необходимо вычислить определенный интеграл от функции \( F(x) \) на промежутке от 1 до 2.
\[ \int_{1}^{2} (x^2 + 1) \, dx \]
Найти первообразную:
- Первообразная для \( x^2 \) — это \( \frac{x^3}{3} \).
- Первообразная для \( 1 \) — это \( x \).
Получаем: \[ \int (x^2 + 1) \, dx = \frac{x^3}{3} + x + C \]
Подставить пределы интегрирования: \[ \left[\frac{x^3}{3} + x\right]_{1}^{2} \]
Вычислить интеграл: \[ \left(\frac{2^3}{3} + 2\right) - \left(\frac{1^3}{3} + 1\right) = \left(\frac{8}{3} + 2\right) - \left(\frac{1}{3} + 1\right) \]
\[ = \left(\frac{8}{3} + \frac{6}{3}\right) - \left(\frac{1}{3} + \frac{3}{3}\right) \]
\[ = \frac{14}{3} - \frac{4}{3} = \frac{10}{3} \]
Итак, площадь первой трапеции равна \(\frac{10}{3}\).
2) Найти площадь криволинейной трапеции для функции \( F(x) = x^3 + 1 \) на отрезке от \( x = 0 \) до \( x = 2 \).
\[ \int_{0}^{2} (x^3 + 1) \, dx \]
Найти первообразную:
- Первообразная для \( x^3 \) — это \( \frac{x^4}{4} \).
- Первообразная для \( 1 \) — это \( x \).
Получаем: \[ \int (x^3 + 1) \, dx = \frac{x^4}{4} + x + C \]
Подставить пределы интегрирования: \[ \left[\frac{x^4}{4} + x\right]_{0}^{2} \]
Вычислить интеграл: \[ \left(\frac{2^4}{4} + 2\right) - \left(\frac{0^4}{4} + 0\right) = \left(\frac{16}{4} + 2\right) - 0 \]
\[ = 4 + 2 = 6 \]
Итак, площадь второй трапеции равна 6.
Таким образом, площади криволинейных трапеций составляют \(\frac{10}{3}\) и 6 соответственно.
