В вагоне-ресторане поезда на ужин предлагается курица с гречкой или лазанья. Каждый пассажир делает свой выбор. Сколько в данном выборе комбинаций, если 11 пассажиров выбирают лазанью, а всего пассажиров 21?

Чтобы решить задачу о том, сколько существует комбинаций заказов на ужин для 21 пассажира, из которых 11 выбирают лазанью, а остальные – курицу с гречкой, мы можем использовать концепцию комбинаторики. 1. **Определим количество выборов**: Поскольку 11 пассажиров выбирают лазанью, это означает, что 10 оставшихся пассажиров выберут курицу с гречкой (так как всего 21 пассажир). 2. **Формулировка задачи**: Нам нужно определить, сколько способов можно выбрать 11 пассажиров из 21, которые будут заказывать лазанью. Это можно сделать с помощью биномиального коэффициента, который обозначается как "C(n, k)", где n – общее количество предметов (в данном случае пассажиров), а k – количество предметов, выбираемых из них. 3. **Биномиальный коэффициент**: Формула для биномиального коэффициента выглядит следующим образом: \[ C(n, k) = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!} \] В нашем случае: - \(n = 21\) (всего пассажиров) - \(k = 11\) (пассажиров, выбирающих лазанью) 4. **Подставим значения**: \[ C(21, 11) = \frac{21!}{11! \cdot (21 - 11)!} = \frac{21!}{11! \cdot 10!} \] 5. **Вычислим факториалы**: - \(21!\) = 21 × 20 × 19 × 18 × 17 × 16 × 15 × 14 × 13 × 12 × 11! - \(10!\) = 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 - Таким образом, выражение можно упростить: \[ C(21, 11) = \frac{21 × 20 × 19 × 18 × 17 × 16 × 15 × 14 × 13 × 12}{10!} \] 6. **Теперь найдем значение**: \[ 10! = 3628800 \] Вычислим числитель: \[ 21 × 20 = 420 \] \[ 420 × 19 = 7980 \] \[ 7980 × 18 = 143640 \] \[ 143640 × 17 = 2441880 \] \[ 2441880 × 16 = 39070080 \] \[ 39070080 × 15 = 586051200 \] \[ 586051200 × 14 = 8204716800 \] \[ 8204716800 × 13 = 106662108800 \] \[ 106662108800 × 12 = 1279945305600 \] Теперь делим числитель на \(10!\): \[ C(21, 11) = \frac{1279945305600}{3628800} = 352716 \] 7. **Ответ**: Таким образом, общее количество комбинаций выбора ужина для 21 пассажира, где 11 из них заказывают лазанью, составляет **352716**.