Площадь прямоугольного треугольника равна 630 см2, гипотенуза равна 5З см. Найдите периметр этого треугольника. Ответ дайте в СМ.

Для решения задачи найдем периметр прямоугольного треугольника, зная его площадь и гипотенузу.

1. Обозначим стороны треугольника: пусть одни катеты будут \(a\) и \(b\), а гипотенуза — \(c\). В нашем случае:

   • \(c = 53 \, \text{см}\)
   • Площадь треугольника равна \(630 \, \text{см}^2\).

2. Формула для площади: Площадь прямоугольного треугольника может быть рассчитана по формуле: \[ S = \frac{1}{2}ab \] где \(S\) — площадь, а \(a\) и \(b\) — катеты. Подставим известное значение площади: \[ 630 = \frac{1}{2}ab \] Умножим обе стороны на 2: \[ 1260 = ab \]

3. Применим теорему Пифагора: В прямоугольном треугольнике выполняется соотношение: \[ c^2 = a^2 + b^2 \] Подставим значение гипотенузы: \[ 53^2 = a^2 + b^2 \] Сначала посчитаем \(53^2\): \[ 53^2 = 2809 \] Таким образом, у нас есть два уравнения:

   1. \(ab = 1260\)
   2. \(a^2 + b^2 = 2809\)

4. Выразим \(b\) через \(a\) из первого уравнения: \[ b = \frac{1260}{a} \] Подставим это выражение во второе уравнение: \[ a^2 + \left(\frac{1260}{a}\right)^2 = 2809 \] Упростим уравнение: \[ a^2 + \frac{1587600}{a^2} = 2809 \] Умножим всё уравнение на \(a^2\) (при условии, что \(a \neq 0\)): \[ a^4 - 2809a^2 + 1587600 = 0 \] Обозначим \(x = a^2\). Тогда уравнение примет вид: \[ x^2 - 2809x + 1587600 = 0 \]

5. Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = 2809^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1587600 \] Посчитаем \(2809^2\): \[ 2809^2 = 7896481 \] Затем: \[ 4 \cdot 1587600 = 6350400 \] Подставим: \[ D = 7896481 - 6350400 = 1546081 \]

6. Корни квадратного уравнения находятся по формуле: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] Подставим значения: \[ x = \frac{2809 \pm \sqrt{1546081}}{2} \] Найдём \(\sqrt{1546081} = 1244\). Подставим: \[ x = \frac{2809 \pm 1244}{2} \] Получаем два значения: \[ x_1 = \frac{4053}{2} = 2026.5, \] \[ x_2 = \frac{1565}{2} = 782.5. \] Соответственно: \[ a^2 = 2026.5 \quad \text{или} \quad a^2 = 782.5. \] Значит, \(a = \sqrt{2026.5} \approx 45\) или \(a \approx 28\).

7. Дальше находим \(b\) по формуле \(b = \frac{1260}{a}\):

   • Если \(a \approx 45\), то: \[ b \approx \frac{1260}{45} \approx 28. \]
   • Если \(a \approx 28\), то: \[ b \approx \frac{1260}{28} \approx 45. \]

8. Теперь находим периметр: \[ P = a + b + c = 28 + 45 + 53 = 126 \, \text{см}. \] Ответ: \[ \text{Периметр треугольника равен } 126 \, \text{см}. \]