Для решения этой задачи мы можем использовать биномиальное распределение, так как у нас есть фиксированное количество испытаний (узлов), каждый из которых может иметь два возможных состояния (работает или вышел из строя).
В данной задаче:
- n = 10 (число узлов)
- k = 4 (число узлов, которые вышли из строя)
- p = 0.8 (вероятность безотказной работы узла)
- Следовательно, вероятность выхода узла из строя ( q = 1 - p = 1 - 0.8 = 0.2 ).
Формула для нахождения вероятности того, что из n узлов k узлов выйдут из строя, выглядит следующим образом:
[
P(X = k) = C(n, k) \cdot p^{n-k} \cdot q^k
]
где:
- ( C(n, k) ) — коэффициент сочетаний, вычисляется по формуле:
[
C(n, k) = \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!}
]
- Находим коэффициент сочетаний ( C(10, 4) ):
[
C(10, 4) = \frac{10!}{4! \cdot (10 - 4)!} = \frac{10!}{4! \cdot 6!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{5040}{24} = 210
]
- Теперь подставим все значения в формулу:
[
P(X = 4) = C(10, 4) \cdot p^{10-4} \cdot q^4
]
Подставляем значения:
[
P(X = 4) = 210 \cdot (0.8)^6 \cdot (0.2)^4
]
- Вычислим ( (0.8)^6 ) и ( (0.2)^4 ):
[
(0.8)^6 = 0.262144 \quad(приблизительно)
]
[
(0.2)^4 = 0.0016
]
- Подставляем эти значения в формулу:
[
P(X = 4) = 210 \cdot 0.262144 \cdot 0.0016
]
- Теперь умножим все числа:
[
P(X = 4) \approx 210 \cdot 0.262144 \cdot 0.0016 \approx 0.08808
]
Таким образом, вероятность того, что за время t откажут 4 узла, составляет примерно 0.088 или 8.8%.
