Прибор состоит из 10 узлов. Вероятность безотказной работы каждого узла за некоторое время t равна p=0,8. Узлы выходят из строя независимо друг от друга. Найдите вероятность того,…
Прибор состоит из 10 узлов. Вероятность безотказной работы каждого узла за некоторое время t равна p=0,8. Узлы выходят из строя независимо друг от друга. Найдите вероятность того, что за время t откажут 4 узла
Для решения этой задачи мы можем использовать биномиальное распределение, так как у нас есть фиксированное количество испытаний (узлов), каждый из которых может иметь два возможных состояния (работает или вышел из строя).
В данной задаче:
- n = 10 (число узлов)
- k = 4 (число узлов, которые вышли из строя)
- p = 0.8 (вероятность безотказной работы узла)
- Следовательно, вероятность выхода узла из строя \( q = 1 - p = 1 - 0.8 = 0.2 \).
Формула для нахождения вероятности того, что из n узлов k узлов выйдут из строя, выглядит следующим образом:
\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^{n-k} \cdot q^k \]
где:
- \( C(n, k) \) — коэффициент сочетаний, вычисляется по формуле:
\[ C(n, k) = \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!} \]
- Находим коэффициент сочетаний \( C(10, 4) \):
\[ C(10, 4) = \frac{10!}{4! \cdot (10 - 4)!} = \frac{10!}{4! \cdot 6!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{5040}{24} = 210 \]
- Теперь подставим все значения в формулу:
\[ P(X = 4) = C(10, 4) \cdot p^{10-4} \cdot q^4 \]
Подставляем значения:
\[ P(X = 4) = 210 \cdot (0.8)^6 \cdot (0.2)^4 \]
- Вычислим \( (0.8)^6 \) и \( (0.2)^4 \):
\[ (0.8)^6 = 0.262144 \quad(приблизительно) \] \[ (0.2)^4 = 0.0016 \]
- Подставляем эти значения в формулу:
\[ P(X = 4) = 210 \cdot 0.262144 \cdot 0.0016 \]
- Теперь умножим все числа:
\[ P(X = 4) \approx 210 \cdot 0.262144 \cdot 0.0016 \approx 0.08808 \]
Таким образом, вероятность того, что за время t откажут 4 узла, составляет примерно 0.088 или 8.8%.
