Для того чтобы понять, как плоскость ( z + 1 = 0 ) пересекает однополосный гиперболоид ( \frac{x^2}{32} - \frac{y^2}{18} + \frac{z^2}{2} = 1 ), нам нужно выполнить следующие шаги:
Шаг 1: Найти уравнение пересечения
Сначала подставим уравнение плоскости ( z + 1 = 0 ) в уравнение гиперболоида. Упрощаем уравнение плоскости, чтобы выразить ( z ):
[
z = -1
]
Теперь подставим это значение в уравнение гиперболоида:
[
\frac{x^2}{32} - \frac{y^2}{18} + \frac{(-1)^2}{2} = 1
]
Преобразуем уравнение:
[
\frac{x^2}{32} - \frac{y^2}{18} + \frac{1}{2} = 1
]
Вычтем ( \frac{1}{2} ) из обеих сторон:
[
\frac{x^2}{32} - \frac{y^2}{18} = 1 - \frac{1}{2}
]
[
\frac{x^2}{32} - \frac{y^2}{18} = \frac{1}{2}
]
Шаг 2: Упростить уравнение
Теперь умножим обе стороны уравнения на 2, чтобы избавиться от дробей:
[
\frac{2x^2}{32} - \frac{2y^2}{18} = 1
]
Это упрощается до:
[
\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1
]
Шаг 3: Определение свойств гиперболы
Теперь у нас есть уравнение гиперболы в стандартной форме:
[
\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1
]
Полуоси гиперболы
- Полуось вдоль оси ( x ): Это значение выражается квадратом числа в числителе, т.е. ( a^2 = 16 ), отсюда ( a = \sqrt{16} = 4 ).
- Полуось вдоль оси ( y ): Это значение выражается квадратом числа в знаменателе, т.е. ( b^2 = 9 ), отсюда ( b = \sqrt{9} = 3 ).
Вершины гиперболы
Вершины гиперболы находятся по формуле ( (±a, 0) ):
- Вершины: ( (4, 0) ) и ( (-4, 0) ).
Итог
Таким образом, плоскость ( z + 1 = 0 ) пересекает однополосный гиперболоид по гиперболе с полуосями 4 (по оси ( x )) и 3 (по оси ( y )). Вершины гиперболы находятся в точках ( (4, 0) ) и ( (-4, 0) ).
