Чтобы составить уравнение поверхности, образованной вращением данной линии вокруг указанных осей, давайте разберемся с каждой задачей отдельно.
Обозначения:
Линия на графике: (y = 2x^2)
1. Вращение вокруг оси (OX):
Для задачи с вращением вокруг оси (OX), уравнение кривой вращается, образуя поверхность революции.
- Изначальная линия: (y = 2x^2)
В этом случае, когда линия вращается вокруг оси (OX), она образует поверхность, для которой (z^2 = y^2), так как любое отклонение в направлении оси (Z) соответствует расстоянию от оси вращения.
- Уравнение поверхности:
[
z^2 + y^2 = (2x^2)^2
]
[
z^2 + y^2 = 4x^4
]
2. Вращение вокруг оси (OY):
Теперь, когда линия вращается вокруг оси (OY), переменная (x) становится радиальным направлением.
- Изначальная линия: (y = 2x^2)
Перепишем уравнение, чтобы выразить (x) через (y):
[
x = \pm \sqrt{\frac{y}{2}}
]
При этом, вращение вокруг оси (OY) означает, что каждая точка ( (x, y) ) дополнительно отклоняется по оси (Z), и расстояние (x^2 + z^2) остается постоянным.
- Уравнение поверхности:
[
x^2 + z^2 = \left(\sqrt{\frac{y}{2}}\right)^2
]
[
x^2 + z^2 = \frac{y}{2}
]
Таким образом, ваши уравнения поверхности для двух случаев вращения:
- Вращение вокруг оси (OX): (z^2 + y^2 = 4x^4)
- Вращение вокруг оси (OY): (x^2 + z^2 = \frac{y}{2})
