две задачи. Составить уравнение поверхности, образованной вращением данной линии вокруг оси:

Чтобы составить уравнение поверхности, образованной вращением данной линии вокруг указанных осей, давайте разберемся с каждой задачей отдельно.

Обозначения:

Линия на графике: \(y = 2x^2\)

1. Вращение вокруг оси \(OX\):

Для задачи с вращением вокруг оси \(OX\), уравнение кривой вращается, образуя поверхность революции.

1. Изначальная линия: \(y = 2x^2\)

В этом случае, когда линия вращается вокруг оси \(OX\), она образует поверхность, для которой \(z^2 = y^2\), так как любое отклонение в направлении оси \(Z\) соответствует расстоянию от оси вращения.

2. Уравнение поверхности: \[ z^2 + y^2 = (2x^2)^2 \] \[ z^2 + y^2 = 4x^4 \]

2. Вращение вокруг оси \(OY\):

Теперь, когда линия вращается вокруг оси \(OY\), переменная \(x\) становится радиальным направлением.

1. Изначальная линия: \(y = 2x^2\)

Перепишем уравнение, чтобы выразить \(x\) через \(y\): \[ x = \pm \sqrt{\frac{y}{2}} \]

При этом, вращение вокруг оси \(OY\) означает, что каждая точка \( (x, y) \) дополнительно отклоняется по оси \(Z\), и расстояние \(x^2 + z^2\) остается постоянным.

2. Уравнение поверхности: \[ x^2 + z^2 = \left(\sqrt{\frac{y}{2}}\right)^2 \] \[ x^2 + z^2 = \frac{y}{2} \]

Таким образом, ваши уравнения поверхности для двух случаев вращения:

1. Вращение вокруг оси \(OX\): \(z^2 + y^2 = 4x^4\)
2. Вращение вокруг оси \(OY\): \(x^2 + z^2 = \frac{y}{2}\)