Составить уравнение поверхности, образованной вращением данной линии вокруг оси: v:{y^2=20z; x=0 a)вокруг оси Oy b)вокруг оси Oz

Чтобы составить уравнение поверхности, образованной вращением заданной линии вокруг осей, давайте сначала проанализируем уравнение линии и какое пространство она занимает.

Линия:

Дано уравнение:
\[ y^2 = 20z \] При фиксированном \(z\) это уравнение описывает параболу в плоскости \(yOz\) (где \(x=0\)).

a) Вращение вокруг оси \(Oy\)

Когда мы вращаем эту параболу вокруг оси \(Oy\), каждая точка на параболе будет описывать окружность в плоскости, перпендикулярной оси \(Oy\).

1. Параметризация линии:
   Мы можем выразить \(z\) через \(y\):
   \[ z = \frac{y^2}{20} \] Это уравнение показывает нам зависимость \(z\) от \(y\).

2. Вращение:
   При вращении этой записи вокруг оси \(Oy\) мы заменяем \(y\) на \(y\) и добавляем \(x\) (который будет равен радиусу окружности, т.е. \(x = r\)). Это приводит к тому, что:

   • \(z = \frac{y^2}{20}\)
   • \(x^2 + z^2 = r^2\) (где \(r\) - радиус окружности)

Таким образом, уравнение поверхности в 3D будет: \[ z = \frac{y^2}{20} \quad \text{где} \quad x^2 + z^2 = r^2, \, r = |x| \] Таким образом, окончательное уравнение будет: \[ z = \frac{y^2}{20}, \quad x^2 + z^2 = |y|^2/20. \]

b) Вращение вокруг оси \(Oz\)

Теперь рассмотрим вращение вокруг оси \(Oz\).

1. Параметризация линии:
   Сначала у нас есть: \[ y^2 = 20z \quad \text{или} \quad z = \frac{y^2}{20} \]

2. Вращение:
   При вращении вокруг оси \(Oz\) мы выражаем \(y\) через \(x\) и \(r\) (где \(r = \sqrt{x^2 + y^2}\)):

   • \(y = r \sin(\theta)\)
   • \(x = r \cos(\theta)\)

Таким образом: \[ z = \frac{(r \sin(\theta))^2}{20} = \frac{r^2 \sin^2(\theta)}{20} \] Так как \(r\) фиксирован, \(z\) может быть также выражено через \(x\): \[ 20z = (x^2 + y^2) \sin^2(\theta). \]

На выходе, составим уравнение: \[ z = \frac{1}{20}(x^2 + y^2) \sin^2(\theta). \]

Заключение

1. Для вращения вокруг оси \(Oy\): \[ z = \frac{y^2}{20} \]

2. Для вращения вокруг оси \(Oz\): \[ z = \frac{1}{20}(x^2 + y^2) \sin^2(\theta). \]

Таким образом, мы получили уравнения поверхностей, образованных вращением заданной линии вокруг двух различных осей.