Чтобы найти значение дисперсии ( D(X - Y) ), воспользуемся следующими свойствами дисперсии и ковариации.
Во-первых, если ( X ) и ( Y ) — случайные величины, то справедливы следующие свойства:
Дисперсия разности двух случайных величин:
[
D(X - Y) = D(X) + D(Y) - 2 \cdot Cov(X, Y)
]
Ковариация связана с ними через коэффициент корреляции:
[
Cov(X, Y) = \rho(X, Y) \cdot \sigma_X \cdot \sigma_Y
]
где ( \rho(X, Y) ) — коэффициент корреляции, ( \sigma_X ) — стандартное отклонение ( X ), ( \sigma_Y ) — стандартное отклонение ( Y ).
Теперь, чтобы продолжить, нам нужно рассчитать дисперсии ( D(X) ) и ( D(Y) ), а затем использовать коэффициент корреляции для нахождения ковариации.
Шаг 1: Найти дисперсии ( D(X) ) и ( D(Y) )
Для геометрического распределения математическое ожидание ( E(X) ) и дисперсия ( D(X) ) связаны следующим образом:
[
E(X) = \frac{1}{p} \quad \text{и} \quad D(X) = \frac{1 - p}{p^2}
]
где ( p ) — параметр геометрического распределения.
Для случайной величины ( X ):
[
E(X) = 4 \implies p_X = \frac{1}{4} \implies D(X) = \frac{1 - \frac{1}{4}}{\left(\frac{1}{4}\right)^2} = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{1}{16}} = 3 \cdot 16 = 48.
]
Для случайной величины ( Y ):
[
E(Y) = 8 \implies p_Y = \frac{1}{8} \implies D(Y) = \frac{1 - \frac{1}{8}}{\left(\frac{1}{8}\right)^2} = \frac{\frac{7}{8}}{\frac{1}{64}} = 7 \cdot 64 = 448.
]
Шаг 2: Найти ковариацию ( Cov(X, Y) )
Теперь можем найти ковариацию:
[
Cov(X, Y) = \rho(X, Y) \cdot \sigma_X \cdot \sigma_Y.
]
Сначала находим стандартные отклонения:
[
\sigma_X = \sqrt{D(X)} = \sqrt{48},
]
[
\sigma_Y = \sqrt{D(Y)} = \sqrt{448}.
]
Теперь подставим значения ( \rho(X, Y) = 0.8 ):
[
Cov(X, Y) = 0.8 \cdot \sqrt{48} \cdot \sqrt{448}.
]
Найдём произведение ( \sqrt{48} \cdot \sqrt{448} = \sqrt{48 \cdot 448} ).
Считаем:
[
48 \cdot 448 = 21504.
]
Таким образом,
[
Cov(X, Y) = 0.8 \cdot \sqrt{21504}.
]
Шаг 3: Подставляем в формулу для ( D(X - Y) )
Теперь можем использовать полученные значения:
[
D(X - Y) = D(X) + D(Y) - 2 \cdot Cov(X, Y).
]
Эти значения нам нужно подставить:
[
D(X - Y) = 48 + 448 - 2 \cdot (0.8 \cdot \sqrt{21504}).
]
Однако стоит заметить, что нам нужно округлить результат до целого числа, и для упрощения лучше посчитать ( 2 \cdot Cov(X, Y) ) после нахождения ( Cov(X, Y) ).
Расчет:
[
Cov(X, Y) \approx 0.8 \cdot \sqrt{21504} \approx 0.8 \cdot 146.569 \approx 117.255.
]
Теперь подставляем:
[
D(X - Y) \approx 48 + 448 - 2 \cdot 117.255 \approx 496 - 234.51 \approx 261.49.
]
Округляем до целого числа:
[
D(X - Y) \approx 261.
]
Ответ:
Значение дисперсии ( D(X - Y) ) примерно равно 261.
