y=lim x+1/x-1
Рассмотрим задачу с предельным значением:
\[ y = \lim_{x \to 1} \frac{x + 1}{x - 1} \]
Шаг 1: Подставляем значение предела
Для начала, подставим \( x = 1 \) непосредственно в выражение:
\[ \frac{1 + 1}{1 - 1} = \frac{2}{0} \]
Как мы видим, получается неопределенность \(\frac{2}{0}\), что означает, что предел при \(x\) стремящемся к 1 не может быть найден простым подставлением.
Шаг 2: Анализ поведения функции
Чтобы обойти эту неопределенность, необходимо проанализировать поведение функции при значениях \(x\), которые близки к 1 с обеих сторон (например, с правой и с левой стороны).
Если \(x \to 1^+\) (с правой стороны):
- \(x\) немного больше 1, тогда \(x - 1\) будет положительным и приближаться к 0.
- Значит, \(\frac{x + 1}{x - 1} \to \frac{2}{0^+} \to +\infty\).
Если \(x \to 1^-\) (с левой стороны):
- \(x\) немного меньше 1, тогда \(x - 1\) будет отрицательным и приближаться к 0.
- Это значит, что \(\frac{x + 1}{x - 1} \to \frac{2}{0^-} \to -\infty\).
Шаг 3: Вывод предела
Так как предел при \(x\) стремящемся к 1 с правой стороны равен \(+\infty\), а с левой стороны \( -\infty\), то мы можем заключить, что:
\[ \lim_{x \to 1} \frac{x + 1}{x - 1} \text{ не существует.} \]
Итог
Предел не существует из-за разного поведения (одна сторона стремится к \(+\infty\), а другая — к \(-\infty\)). Функция имеет вертикальную асимптоту при \(x = 1\).
