Для решения этой задачи мы будем использовать понятие вероятности. Давайте разберемся с ней шаг за шагом.
Задание
Спортсмен бросает дротик с вероятностью ( p = 0.2 ), что он попадёт в сектор. Мы ищем наименьшее количество бросков ( n ), при котором вероятность того, что он хотя бы один раз попадет в сектор, будет не менее 0.6.
Шаг 1: Определение вероятности промаха
Вероятность того, что спортсмен не попадает в сектор за один бросок, равна:
[
q = 1 - p = 1 - 0.2 = 0.8
]
Шаг 2: Вероятность промахов за ( n ) бросков
Если спортсмен совершает ( n ) бросков, то вероятность того, что он ни разу не попадет в сектор (т.е. все броски будут неудачными), равна:
[
P(\text{промахи}) = q^n = 0.8^n
]
Шаг 3: Вероятность попадания хотя бы один раз
Теперь мы можем найти вероятность того, что спортсмен хотя бы один раз попадёт в сектор за ( n ) бросков:
[
P(\text{попадание хотя бы один раз}) = 1 - P(\text{промахи}) = 1 - 0.8^n
]
Шаг 4: Установка неравенства
Мы хотим, чтобы эта вероятность была не менее 0.6:
[
1 - 0.8^n \geq 0.6
]
Шаг 5: Решение неравенства
Перепишем неравенство:
[
0.8^n \leq 0.4
]
Теперь мы можем взять логарифм от обеих сторон, чтобы решить неравенство. Подойдет любой логарифм, но чаще всего используется десятичный:
[
\log(0.8^n) \leq \log(0.4)
]
Это можно переписать как:
[
n \cdot \log(0.8) \leq \log(0.4)
]
Так как (\log(0.8)) – это отрицательное число, мы можем поменять знак неравенства при делении:
[
n \geq \frac{\log(0.4)}{\log(0.8)}
]
Теперь посчитаем:
- ( \log(0.4) \approx -0.3979 )
- ( \log(0.8) \approx -0.0969 )
Следовательно:
[
n \geq \frac{-0.3979}{-0.0969} \approx 4.11
]
Так как ( n ) должно быть целым числом, округляем до ближайшего большего целого:
[
n = 5
]
Ответ
Таким образом, спортсмену необходимо сделать как минимум 5 бросков, чтобы вероятность хотя бы одного попадания в сектор Бут была не менее 0.6.
