Спортсмен специализирующийся на игре в дартс бросает дротик в центр мишени сектор Бут до тех пор пока не попадает в него известно что он попадает в цель с вероятностью 0,2 при…

Для решения этой задачи мы будем использовать понятие вероятности. Давайте разберемся с ней шаг за шагом.

Задание

Спортсмен бросает дротик с вероятностью \( p = 0.2 \), что он попадёт в сектор. Мы ищем наименьшее количество бросков \( n \), при котором вероятность того, что он хотя бы один раз попадет в сектор, будет не менее 0.6.

Шаг 1: Определение вероятности промаха

Вероятность того, что спортсмен не попадает в сектор за один бросок, равна:

\[ q = 1 - p = 1 - 0.2 = 0.8 \]

Шаг 2: Вероятность промахов за \( n \) бросков

Если спортсмен совершает \( n \) бросков, то вероятность того, что он ни разу не попадет в сектор (т.е. все броски будут неудачными), равна:

\[ P(\text{промахи}) = q^n = 0.8^n \]

Шаг 3: Вероятность попадания хотя бы один раз

Теперь мы можем найти вероятность того, что спортсмен хотя бы один раз попадёт в сектор за \( n \) бросков:

\[ P(\text{попадание хотя бы один раз}) = 1 - P(\text{промахи}) = 1 - 0.8^n \]

Шаг 4: Установка неравенства

Мы хотим, чтобы эта вероятность была не менее 0.6:

\[ 1 - 0.8^n \geq 0.6 \]

Шаг 5: Решение неравенства

Перепишем неравенство:

\[ 0.8^n \leq 0.4 \]

Теперь мы можем взять логарифм от обеих сторон, чтобы решить неравенство. Подойдет любой логарифм, но чаще всего используется десятичный:

\[ \log(0.8^n) \leq \log(0.4) \]

Это можно переписать как:

\[ n \cdot \log(0.8) \leq \log(0.4) \]

Так как \(\log(0.8)\) – это отрицательное число, мы можем поменять знак неравенства при делении:

\[ n \geq \frac{\log(0.4)}{\log(0.8)} \]

Теперь посчитаем:

• \( \log(0.4) \approx -0.3979 \)
• \( \log(0.8) \approx -0.0969 \)

Следовательно:

\[ n \geq \frac{-0.3979}{-0.0969} \approx 4.11 \]

Так как \( n \) должно быть целым числом, округляем до ближайшего большего целого:

\[ n = 5 \]

Ответ

Таким образом, спортсмену необходимо сделать как минимум 5 бросков, чтобы вероятность хотя бы одного попадания в сектор Бут была не менее 0.6.