.
Для решения задачи найдем вероятность того, что при семикратном бросании игрального кубика 6 очков выпадет не менее 4, но не более 5 раз.
Шаг 1: Понять задачу
Мы знаем, что при бросании кубика вероятность выпадения 6 составляет \( p = \frac{1}{6} \). Аналогично, вероятность того, что не выпадет 6, составляет \( 1-p = \frac{5}{6} \).
Шаг 2: Определить подходящее распределение
Это биномиальная задача, так как есть фиксированное количество независимых экспериментов (бросков), и у каждого эксперимента есть два возможных исхода (выпадает 6 или не выпадает).
Шаг 3: Формула биномиального распределения
Формула биномиального распределения выглядит так:
\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \]
где:
- \( n = 7 \) — число бросков,
- \( k \) — количество благоприятных исходов (4 и 5),
- \( C(n, k) \) — биномиальный коэффициент, который считается как \( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \),
- \( p = \frac{1}{6} \).
Шаг 4: Посчитать вероятности для 4 и 5 раз
- Для \( k = 4 \):
\[ C(7, 4) = \frac{7!}{4! \cdot 3!} = 35 \]
\[ P(X = 4) = 35 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^4 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^3 \]
\[ = 35 \cdot \frac{1}{1296} \cdot \frac{125}{216} \]
\[ = 35 \cdot \frac{125}{279936} \]
\[ ≈ 0.054 \]
- Для \( k = 5 \):
\[ C(7, 5) = \frac{7!}{5! \cdot 2!} = 21 \]
\[ P(X = 5) = 21 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^5 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^2 \]
\[ = 21 \cdot \frac{1}{7776} \cdot \frac{25}{36} \]
\[ = 21 \cdot \frac{25}{279936} \]
\[ ≈ 0.007 \]
Шаг 5: Сложить вероятности
\[ P(4 \leq X \leq 5) = P(X = 4) + P(X = 5) \]
\[ ≈ 0.054 + 0.007 = 0.061 \]
Таким образом, вероятность того, что 6 очков выпадет не менее 4 и не более 5 раз, приблизительно равна 0.061.
