В водном растворе кислоты содержится 3   3 кг воды. После добавления 2   2 кг такой же кислоты концентрация кислоты в растворе повысилась на 5 % 5% . Определите массу первоначального раствора в кг.

Давайте решим задачу шаг за шагом. ### Условие задачи: - Водный раствор кислоты содержит 3 кг воды. - После добавления 2 кг кислоты концентрация кислоты в растворе увеличивается на 5%. ### Обозначим переменные: - Пусть \( m \) – масса первоначального раствора кислоты (включая как воду, так и кислоту). - Обозначим за \( x \) начальную массу кислоты в растворе. ### 1. Найдем начальную концентрацию кислоты в растворе: Начальная масса раствора состоит из 3 кг воды и массы \( x \) кислоты: \[ m = 3 + x \] Концентрация кислоты в первоначальном растворе можно выразить как: \[ \text{Начальная концентрация} = \frac{x}{m} \cdot 100 = \frac{x}{3 + x} \cdot 100 \] ### 2. Найдем новую концентрацию после добавления 2 кг кислоты: После добавления 2 кг кислоты масса кислоты станет \( x + 2 \), а масса раствора: \[ m_{\text{новый}} = (3 + x) + 2 = 5 + x \] Новая концентрация будет: \[ \text{Новая концентрация} = \frac{x + 2}{5 + x} \cdot 100 \] ### 3. Сравним новую и старую концентрации: Согласно условию, новая концентрация на 5% больше, чем старая: \[ \frac{x + 2}{5 + x} \cdot 100 = \frac{x}{3 + x} \cdot 100 + 5 \] Убираем 100, так как они есть у обеих частей: \[ \frac{x + 2}{5 + x} = \frac{x}{3 + x} + \frac{5}{100} \] ### 4. Перепишем уравнение: Теперь упростим его. Сначала преобразуем \( \frac{5}{100} \) до \( 0.05 \): \[ \frac{x + 2}{5 + x} = \frac{x}{3 + x} + 0.05 \] ### 5. Умножим уравнение на \( (5 + x)(3 + x) \): Это избавит нас от дробей: \[ (x + 2)(3 + x) = x(5 + x) + 0.05(5 + x)(3 + x) \] ### 6. Раскроем скобки и упростим: Раскроем обе стороны: - Левая сторона: \[ 3x + x^2 + 6 + 2x = x^2 + 5x + 6 \] - Правая сторона: \[ 5x + x^2 + 0.05(15 + 5x + 3x + x^2) \] \[ = 5x + x^2 + 0.05(x^2 + 8x + 15) \] \[ = 5x + x^2 + 0.05x^2 + 0.4x + 0.75 \] \[ = (1.05)x^2 + (5 + 0.4)x + 0.75 \] ### 7. Получаем полное уравнение: Уберем \( x^2 \) с обеих сторон: \[ 0 = 0.05x^2 + (5 - 3.4)x + 0.75 - 6 \] \[ 0 = 0.05x^2 + 1.6x - 5.25 \] ### 8. Решаем квадратное уравнение: Используем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (1.6)^2 - 4 \cdot 0.05 \cdot (-5.25) \] \[ = 2.56 + 1.05 = 3.61 \] Корни уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1.6 \pm 1.9}{0.1} \] Решения: 1. \( x = 30 \) 2. \( x = -25 \) (отбрасываем, так как масса не может быть отрицательной) ### 9. Находим массу раствора: Теперь подставляем обратно в формулу для массы раствора: \[ m = 3 + x = 3 + 30 = 33 \, \text{кг} \] ### Ответ: Таким образом, масса первоначального раствора составляет 33 кг.