В водном растворе кислоты содержится 3 3 кг воды. После добавления 2 2 кг такой же кислоты концентрация кислоты в растворе повысилась на 5 % 5% . Определите массу первоначального…
В водном растворе кислоты содержится 3 3 кг воды. После добавления 2 2 кг такой же кислоты концентрация кислоты в растворе повысилась на 5 % 5% . Определите массу первоначального раствора в кг.
Для решения этой задачи начнем с определения, что у нас есть.
Обозначим массу первоначального раствора кислоты как \( m \) кг. В этом растворе содержится 3 кг воды.
Учитывая, что в первоначальном растворе кислоты находится не только вода, но и сама кислота, мы можем обозначить массу кислоты в этом растворе как \( c \) кг.
Таким образом, для первоначального раствора имеем: \[ m = c + 3 \quad (1) \]
После добавления 2 кг такой же кислоты, новая масса кислоты в растворе составит \( c + 2 \) кг, а общая масса раствора увеличится на 2 кг (вода остается неизменной), то есть: \[ m' = m + 2 = (c + 3) + 2 = c + 5 \quad (2) \]
Теперь определим концентрацию кислоты в первоначальном растворе: \[ \text{Концентрация кислоты (первоначальная)} = \frac{c}{m} = \frac{c}{c + 3} \]
В новом растворе концентрация кислоты будет следующей: \[ \text{Концентрация кислоты (новая)} = \frac{c + 2}{m'} = \frac{c + 2}{c + 5} \]
По условию задачи, новая концентрация увеличилась на 5%. Это значит, что: \[ \frac{c + 2}{c + 5} = \frac{c}{c + 3} + 0.05 \]
Решим это уравнение. Умножим обе стороны на \( (c + 3)(c + 5) \): \[ (c + 2)(c + 3) = c(c + 5) + 0.05(c + 3)(c + 5) \]
Раскроем скобки: \[ c^2 + 5c + 6 = c^2 + 5c + 0.05(c^2 + 8c + 15) \] \[ c^2 + 5c + 6 = c^2 + 5c + 0.05c^2 + 0.4c + 0.75 \]
Упростим: \[ 6 = 0.05c^2 + 0.4c + 0.75 \] \[ 0.05c^2 + 0.4c + 0.75 - 6 = 0 \] \[ 0.05c^2 + 0.4c - 5.25 = 0 \]
Умножим на 100, чтобы избавиться от десятичной дроби: \[ 5c^2 + 40c - 525 = 0 \]
Решим данное квадратное уравнение с помощью формулы: \[ c = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-40 \pm \sqrt{40^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-525)}}{2 \cdot 5} \] \[ = \frac{-40 \pm \sqrt{1600 + 10500}}{10} \] \[ = \frac{-40 \pm \sqrt{12100}}{10} \] \[ = \frac{-40 \pm 110}{10} \]
Получаем два возможных решения: \[ c_1 = \frac{70}{10} = 7 \quad \text{(положительное решение)} \] \[ c_2 = \frac{-150}{10} = -15 \quad \text{(отрицательное решение, не подходит)} \]
Таким образом, масса кислоты в первоначальном растворе \( c = 7 \) кг.
- Теперь подставим найденное значение \( c \) обратно в уравнение (1): \[ m = c + 3 = 7 + 3 = 10 \text{ кг} \]
Ответ: Масса первоначального раствора кислоты составляет 10 кг.
