Давайте решим предложенные задачи по алгебре с подробными объяснениями.
Задача 1
Даны:
Точки A (-2, -4, 1) и B (-5, -6, -1), точка O (1, 3, 2) – точка пересечения диагоналей параллелограмма ABCD.
Найти:
Координаты вершин C и D.
Решение:
Известно, что в параллелограмме точки A и C (вершины) и B и D (другие вершины) расположены таким образом, что точки O (пересечение диагоналей) является средним арифметическим координат.
Запишем формулы координат для O:
[
O_x = \frac{A_x + C_x}{2} = \frac{B_x + D_x}{2}
]
[
O_y = \frac{A_y + C_y}{2} = \frac{B_y + D_y}{2}
]
[
O_z = \frac{A_z + C_z}{2} = \frac{B_z + D_z}{2}
]
Подставим координаты точки O:
Для X-координат:
[
1 = \frac{-2 + C_x}{2} \Rightarrow C_x = 2 \cdot 1 + 2 = 4
]
Для Y-координат:
[
3 = \frac{-4 + C_y}{2} \Rightarrow C_y = 2 \cdot 3 + 4 = 10
]
Для Z-координат:
[
2 = \frac{1 + C_z}{2} \Rightarrow C_z = 2 \cdot 2 - 1 = 3
]
Таким образом, координаты точки C:
[
C(4, 10, 3)
]
Теперь найдем координаты точки D. Используем аналогичные уравнения:
Для X-координат:
[
1 = \frac{-5 + D_x}{2} \Rightarrow D_x = 2 \cdot 1 + 5 = 7
]
Для Y-координат:
[
3 = \frac{-6 + D_y}{2} \Rightarrow D_y = 2 \cdot 3 + 6 = 12
]
Для Z-координат:
[
2 = \frac{-1 + D_z}{2} \Rightarrow D_z = 2 \cdot 2 + 1 = 5
]
Таким образом, координаты точки D:
[
D(7, 12, 5)
]
Ответ:
Координаты C: (4, 10, 3), D: (7, 12, 5).
Задача 2
Даны:
Точки A (-2, 1, 3) и B (3, -2, -1).
Найти:
- Координаты векторов AB и AC.
- Модули векторов AB и AC.
Решение
- Координаты вектора AB:
Вектор AB можно найти, вычитая координаты точки A из координат точки B:
[
\vec{AB} = B - A = (3 - (-2), -2 - 1, -1 - 3) = (3 + 2, -2 - 1, -1 - 3) = (5, -3, -4)
]
- Координаты вектора AC:
Сначала найдём точку C (-3, 4, 2) и затем вычислим вектор AC:
[
\vec{AC} = C - A = (-3 - (-2), 4 - 1, 2 - 3) = (-3 + 2, 4 - 1, 2 - 3) = (-1, 3, -1)
]
- Модули векторов:
Модуль вектора AB:
[
|\vec{AB}| = \sqrt{5^2 + (-3)^2 + (-4)^2} = \sqrt{25 + 9 + 16} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}.
]
Модуль вектора AC:
[
|\vec{AC}| = \sqrt{(-1)^2 + 3^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 9 + 1} = \sqrt{11}.
]
Ответ:
- Вектор AB: (5, -3, -4), вектор AC: (-1, 3, -1).
- Модуль вектора AB: (5\sqrt{2}), модуль вектора AC: (\sqrt{11}).
Задача 3
Даны:
Векторы a = (-2, 8, -4) и b = (1, 4, -4).
Найти:
При каком значении координат a и b являются коллинеарными?
Решение:
Векторы a и b коллинеарны, если существует вещественное число k, такое что:
[
a = k \cdot b
]
Таким образом, мы можем записать три уравнения по каждой координате вектора:
- (-2 = k \cdot 1)
- (8 = k \cdot 4)
- (-4 = k \cdot (-4))
Теперь, найдем k из первого уравнения:
[
k = -2.
]
Проверим, подойдет ли это значение для остальных двух:
- Подставим в (8 = k \cdot 4):
[
8 = -2 \cdot 4 \Rightarrow 8 = -8 \quad \text{(неверно)}.
]
- Подставим в (-4 = k \cdot (-4)):
[
-4 = -2 \cdot (-4) \Rightarrow -4 = 8 \quad \text{(неверно)}.
]
Так как векторы не удовлетворяют этим условиям, значит, они не являются коллинеарными.
Ответ:
Векторы a и b не коллинеарны (нет значения k).
Если есть еще вопросы или нужно решить что-то еще, дайте знать!
