2. Точки А (-2; -4; 1) и В (-5; -6; -1) и вершины параллелограмма ABCD, точка О (1; 3; 2) - точка пересечения диагоналей. Найти координаты вершин С и D. (2 балла) 3. Даны точки А…

Давайте решим предложенные задачи по алгебре с подробными объяснениями.

Задача 1

Даны:
Точки A (-2, -4, 1) и B (-5, -6, -1), точка O (1, 3, 2) – точка пересечения диагоналей параллелограмма ABCD.
Найти:
Координаты вершин C и D.

Решение:

Известно, что в параллелограмме точки A и C (вершины) и B и D (другие вершины) расположены таким образом, что точки O (пересечение диагоналей) является средним арифметическим координат.

Запишем формулы координат для O:

\[ O_x = \frac{A_x + C_x}{2} = \frac{B_x + D_x}{2} \] \[ O_y = \frac{A_y + C_y}{2} = \frac{B_y + D_y}{2} \] \[ O_z = \frac{A_z + C_z}{2} = \frac{B_z + D_z}{2} \]

Подставим координаты точки O:

1. Для X-координат: \[ 1 = \frac{-2 + C_x}{2} \Rightarrow C_x = 2 \cdot 1 + 2 = 4 \]

2. Для Y-координат: \[ 3 = \frac{-4 + C_y}{2} \Rightarrow C_y = 2 \cdot 3 + 4 = 10 \]

3. Для Z-координат: \[ 2 = \frac{1 + C_z}{2} \Rightarrow C_z = 2 \cdot 2 - 1 = 3 \]

Таким образом, координаты точки C: \[ C(4, 10, 3) \]

Теперь найдем координаты точки D. Используем аналогичные уравнения:

1. Для X-координат: \[ 1 = \frac{-5 + D_x}{2} \Rightarrow D_x = 2 \cdot 1 + 5 = 7 \]

2. Для Y-координат: \[ 3 = \frac{-6 + D_y}{2} \Rightarrow D_y = 2 \cdot 3 + 6 = 12 \]

3. Для Z-координат: \[ 2 = \frac{-1 + D_z}{2} \Rightarrow D_z = 2 \cdot 2 + 1 = 5 \]

Таким образом, координаты точки D: \[ D(7, 12, 5) \]

Ответ:

Координаты C: (4, 10, 3), D: (7, 12, 5).

---

Задача 2

Даны:
Точки A (-2, 1, 3) и B (3, -2, -1).
Найти:

1. Координаты векторов AB и AC.
2. Модули векторов AB и AC.

Решение

1. Координаты вектора AB:

Вектор AB можно найти, вычитая координаты точки A из координат точки B:

\[ \vec{AB} = B - A = (3 - (-2), -2 - 1, -1 - 3) = (3 + 2, -2 - 1, -1 - 3) = (5, -3, -4) \]

2. Координаты вектора AC:
   Сначала найдём точку C (-3, 4, 2) и затем вычислим вектор AC:

\[ \vec{AC} = C - A = (-3 - (-2), 4 - 1, 2 - 3) = (-3 + 2, 4 - 1, 2 - 3) = (-1, 3, -1) \]

3. Модули векторов:

• Модуль вектора AB: \[ |\vec{AB}| = \sqrt{5^2 + (-3)^2 + (-4)^2} = \sqrt{25 + 9 + 16} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}. \]

• Модуль вектора AC: \[ |\vec{AC}| = \sqrt{(-1)^2 + 3^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 9 + 1} = \sqrt{11}. \]

Ответ:

1. Вектор AB: (5, -3, -4), вектор AC: (-1, 3, -1).
2. Модуль вектора AB: \(5\sqrt{2}\), модуль вектора AC: \(\sqrt{11}\).

---

Задача 3

Даны:
Векторы a = (-2, 8, -4) и b = (1, 4, -4).
Найти:
При каком значении координат a и b являются коллинеарными?

Решение:

Векторы a и b коллинеарны, если существует вещественное число k, такое что: \[ a = k \cdot b \]

Таким образом, мы можем записать три уравнения по каждой координате вектора:

1. \(-2 = k \cdot 1\)
2. \(8 = k \cdot 4\)
3. \(-4 = k \cdot (-4)\)

Теперь, найдем k из первого уравнения: \[ k = -2. \]

Проверим, подойдет ли это значение для остальных двух:

1. Подставим в \(8 = k \cdot 4\): \[ 8 = -2 \cdot 4 \Rightarrow 8 = -8 \quad \text{(неверно)}. \]
2. Подставим в \(-4 = k \cdot (-4)\): \[ -4 = -2 \cdot (-4) \Rightarrow -4 = 8 \quad \text{(неверно)}. \]

Так как векторы не удовлетворяют этим условиям, значит, они не являются коллинеарными.

Ответ:

Векторы a и b не коллинеарны (нет значения k).

---

Если есть еще вопросы или нужно решить что-то еще, дайте знать!