x(x2+4x+4)=3(x+2)
Давай решим уравнение \( x(x^2 + 4x + 4) = 3(x + 2) \) шаг за шагом.
Шаг 1: Раскроем скобки.
Сначала раскроем обе стороны уравнения. Начнём с левой стороны: \[ x(x^2 + 4x + 4) = x^3 + 4x^2 + 4x \]
Теперь раскроем правую сторону: \[ 3(x + 2) = 3x + 6 \]
Теперь наше уравнение выглядит так: \[ x^3 + 4x^2 + 4x = 3x + 6 \]
Шаг 2: Переносим все выражения на одну сторону.
Переносим все члены на одну сторону уравнения: \[ x^3 + 4x^2 + 4x - 3x - 6 = 0 \] Это упрощается до: \[ x^3 + 4x^2 + x - 6 = 0 \]
Шаг 3: Применим метод подбора для нахождения корней.
Теперь найдем корни уравнения. Мы можем попробовать угадать корни (например, 1, -1, 2 и т. д.) или воспользоваться делением. Попробуем подставить \( x = 1 \): \[ 1^3 + 4(1^2) + 1 - 6 = 1 + 4 + 1 - 6 = 0 \] То есть, \( x = 1 \) — корень уравнения.
Шаг 4: Делим многочлен на найденный корень.
Теперь нам нужно разделить многочлен \( x^3 + 4x^2 + x - 6 \) на \( x - 1 \) с помощью деления многочленов.
- Первый член: \( x^3 \div x = x^2 \).
- Умножаем: \( x^2(x - 1) = x^3 - x^2 \).
- Вычитаем: \[ (4x^2 - x^2) + x - 6 = 3x^2 + x - 6. \]
- Второй член: \( 3x^2 \div x = 3x \).
- Умножаем: \( 3x(x - 1) = 3x^2 - 3x \).
- Вычитаем: \[ (x + 3x) - 6 = 4x - 6. \]
- Третий член: \( 4x \div x = 4 \).
- Умножаем: \( 4(x - 1) = 4x - 4 \).
- Вычитаем: \[ -6 + 4 = -2. \]
Так, мы имеем: \[ x^3 + 4x^2 + x - 6 = (x - 1)(x^2 + 3x + 4) + (-2). \]
Шаг 5: Решаем квадратное уравнение.
Теперь у нас есть \( x^2 + 3x + 4 = 0 \). Решим это уравнение с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 9 - 16 = -7. \] Так как дискриминант отрицательный, у данного уравнения нет действительных корней.
Шаг 6: Итог.
Таким образом, единственным действительным корнем уравнения \( x(x^2 + 4x + 4) = 3(x + 2) \) является: \[ \boxed{1}. \]
