Чтобы найти длину хорды AB, нам нужно использовать формулы и свойства окружности. Давайте разберемся с этой задачей шаг за шагом.
Дано:
- Дуга AB равна 270°.
- Радиус окружности (√2 см).
Шаг 1: Найти длину дуги AB
Длина дуги окружности может быть найдена с помощью формулы:
[
L = 2\pi R \cdot \frac{\alpha}{360^\circ}
]
где (L) — длина дуги, (R) — радиус окружности, и (\alpha) — центральный угол в градусах.
Подставим известные значения:
- (R = \sqrt{2}) см,
- (\alpha = 270^\circ).
Теперь подставим их в формулу:
[
L = 2\pi \sqrt{2} \cdot \frac{270}{360} = 2\pi \sqrt{2} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3\pi \sqrt{2}}{2}
]
Шаг 2: Найти длину хорды AB
Длина хорды, соответствующей углу (\alpha), может быть найдена с помощью следующей формулы:
[
C = 2R \cdot \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)
]
В нашем случае, подставляем значения:
- (R = \sqrt{2}) см,
- (\alpha = 270^\circ).
Сначала найдем (\frac{\alpha}{2}):
[
\frac{270^\circ}{2} = 135^\circ
]
Теперь подставим в формулу для хорды:
[
C = 2\sqrt{2} \cdot \sin(135^\circ)
]
Зная, что (\sin(135^\circ) = \sin(180^\circ - 45^\circ) = \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}), подставим это значение:
[
C = 2\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2 \cdot \frac{2}{2} = 2 \text{ см}
]
Ответ:
Таким образом, длина хорды AB равна 2 см.
