дуга AB равна 270° найдите длину хорды AB если окружность √2 см

Чтобы найти длину хорды AB, нам нужно использовать формулы и свойства окружности. Давайте разберемся с этой задачей шаг за шагом.

Дано:

• Дуга AB равна 270°.
• Радиус окружности (√2 см).

Шаг 1: Найти длину дуги AB

Длина дуги окружности может быть найдена с помощью формулы: \[ L = 2\pi R \cdot \frac{\alpha}{360^\circ} \] где \(L\) — длина дуги, \(R\) — радиус окружности, и \(\alpha\) — центральный угол в градусах.

Подставим известные значения:

• \(R = \sqrt{2}\) см,
• \(\alpha = 270^\circ\).

Теперь подставим их в формулу: \[ L = 2\pi \sqrt{2} \cdot \frac{270}{360} = 2\pi \sqrt{2} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3\pi \sqrt{2}}{2} \]

Шаг 2: Найти длину хорды AB

Длина хорды, соответствующей углу \(\alpha\), может быть найдена с помощью следующей формулы: \[ C = 2R \cdot \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) \]

В нашем случае, подставляем значения:

• \(R = \sqrt{2}\) см,
• \(\alpha = 270^\circ\).

Сначала найдем \(\frac{\alpha}{2}\): \[ \frac{270^\circ}{2} = 135^\circ \]

Теперь подставим в формулу для хорды: \[ C = 2\sqrt{2} \cdot \sin(135^\circ) \]

Зная, что \(\sin(135^\circ) = \sin(180^\circ - 45^\circ) = \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}\), подставим это значение: \[ C = 2\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2 \cdot \frac{2}{2} = 2 \text{ см} \]

Ответ:

Таким образом, длина хорды AB равна 2 см.