3cos²x + 2 × cosx - 2sin²x= 0

Давайте решим уравнение \(3 \cos^2 x + 2 \cos x - 2 \sin^2 x = 0\). ### Шаг 1: Используем тригонометрические тождества Мы знаем, что \(\sin^2 x = 1 - \cos^2 x\). Подставим это в уравнение: \[ 3 \cos^2 x + 2 \cos x - 2(1 - \cos^2 x) = 0 \] ### Шаг 2: Упростим уравнение Раскроем скобки: \[ 3 \cos^2 x + 2 \cos x - 2 + 2 \cos^2 x = 0 \] Теперь объединим подобные члены: \[ (3 \cos^2 x + 2 \cos^2 x) + 2 \cos x - 2 = 0 \] \[ 5 \cos^2 x + 2 \cos x - 2 = 0 \] ### Шаг 3: Обозначим \(y = \cos x\) Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно \(y\): \[ 5y^2 + 2y - 2 = 0 \] ### Шаг 4: Используем формулу для нахождения корней Для решения квадратного уравнения можно использовать формулу: \[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \(a = 5\), \(b = 2\), \(c = -2\). Подставим значения: \[ y = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-2)}}{2 \cdot 5} \] \[ y = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 40}}{10} \] \[ y = \frac{-2 \pm \sqrt{44}}{10} \] \[ y = \frac{-2 \pm 2\sqrt{11}}{10} \] \[ y = \frac{-1 \pm \sqrt{11}}{5} \] ### Шаг 5: Ищем значения \(y\) Теперь найдём два корня: 1. \(y_1 = \frac{-1 + \sqrt{11}}{5}\) 2. \(y_2 = \frac{-1 - \sqrt{11}}{5}\) ### Шаг 6: Проверим доступные значения Чтобы получить действительные значения для \(\cos x\), нужно проверить корни на допустимость. Поскольку \(-1 \leq \cos x \leq 1\): - Для \(y_1 = \frac{-1 + \sqrt{11}}{5}\): Приблизительно \(\sqrt{11} \approx 3.316\): \[ y_1 \approx \frac{-1 + 3.316}{5} \approx \frac{2.316}{5} \approx 0.4632 \quad (\text{допустимо}) \] - Для \(y_2 = \frac{-1 - \sqrt{11}}{5}\): \[ y_2 \approx \frac{-1 - 3.316}{5} \approx \frac{-4.316}{5} \approx -0.8632 \quad (\text{допустимо, но за пределом}) \] Так что, находим только первый корень. ### Шаг 7: Находим угол \(x\) Теперь у нас есть \(y_1 = \cos x \approx 0.4632\). Теперь найдем угол \(x\): \[ x = \cos^{-1}(0.4632) \] ### Заключение Таким образом, у нас есть реальные решения для функции косинуса. Значение угла можно вычислить с помощью калькулятора: \[ x \approx 62.73^\circ \text{ или } x \approx 297.27^\circ \quad (\text{в пределах } [0, 360^\circ]) \] Мы нашли все значения угла, удовлетворяющие данному уравнению.