3cos²x + 2 × cosx - 2sin²x= 0
Давайте решим уравнение \(3 \cos^2 x + 2 \cos x - 2 \sin^2 x = 0\).
Шаг 1: Используем тригонометрические тождества
Мы знаем, что \(\sin^2 x = 1 - \cos^2 x\). Подставим это в уравнение:
\[ 3 \cos^2 x + 2 \cos x - 2(1 - \cos^2 x) = 0 \]
Шаг 2: Упростим уравнение
Раскроем скобки:
\[ 3 \cos^2 x + 2 \cos x - 2 + 2 \cos^2 x = 0 \]
Теперь объединим подобные члены:
\[ (3 \cos^2 x + 2 \cos^2 x) + 2 \cos x - 2 = 0 \] \[ 5 \cos^2 x + 2 \cos x - 2 = 0 \]
Шаг 3: Обозначим \(y = \cos x\)
Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно \(y\):
\[ 5y^2 + 2y - 2 = 0 \]
Шаг 4: Используем формулу для нахождения корней
Для решения квадратного уравнения можно использовать формулу:
\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
где \(a = 5\), \(b = 2\), \(c = -2\). Подставим значения:
\[ y = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-2)}}{2 \cdot 5} \] \[ y = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 40}}{10} \] \[ y = \frac{-2 \pm \sqrt{44}}{10} \] \[ y = \frac{-2 \pm 2\sqrt{11}}{10} \] \[ y = \frac{-1 \pm \sqrt{11}}{5} \]
Шаг 5: Ищем значения \(y\)
Теперь найдём два корня:
- \(y_1 = \frac{-1 + \sqrt{11}}{5}\)
- \(y_2 = \frac{-1 - \sqrt{11}}{5}\)
Шаг 6: Проверим доступные значения
Чтобы получить действительные значения для \(\cos x\), нужно проверить корни на допустимость. Поскольку \(-1 \leq \cos x \leq 1\):
- Для \(y_1 = \frac{-1 + \sqrt{11}}{5}\):
Приблизительно \(\sqrt{11} \approx 3.316\): \[ y_1 \approx \frac{-1 + 3.316}{5} \approx \frac{2.316}{5} \approx 0.4632 \quad (\text{допустимо}) \]
- Для \(y_2 = \frac{-1 - \sqrt{11}}{5}\): \[ y_2 \approx \frac{-1 - 3.316}{5} \approx \frac{-4.316}{5} \approx -0.8632 \quad (\text{допустимо, но за пределом}) \]
Так что, находим только первый корень.
Шаг 7: Находим угол \(x\)
Теперь у нас есть \(y_1 = \cos x \approx 0.4632\). Теперь найдем угол \(x\): \[ x = \cos^{-1}(0.4632) \]
Заключение
Таким образом, у нас есть реальные решения для функции косинуса. Значение угла можно вычислить с помощью калькулятора:
\[ x \approx 62.73^\circ \text{ или } x \approx 297.27^\circ \quad (\text{в пределах } [0, 360^\circ]) \]
Мы нашли все значения угла, удовлетворяющие данному уравнению.
