В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD S вершина, точка - середина ребра АВ, С вершина, ВС 40 см, ЅС 52 см. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

Чтобы найти площадь полной поверхности правильной четырёхугольной пирамиды SABCD, мы будем использовать следующие шаги:

1. Определим данные:

   • Основание пирамиды — это квадрат ABCD, где:
     • \( AB = BC = CD = DA \) (все стороны равны в квадрате).
   • \( S \) — вершина пирамиды.
   • Из условия, длина ребра \( BC = 40 \) см, следовательно, \( AB = 40 \) см (поскольку это квадрат).

2. Находим длину площади основания: Площадь основания квадратной пирамиды \( A_{осн} \) можно вычислить по формуле: \[ A_{осн} = a^2 \] где \( a \) — длина стороны квадрата. У нас \( a = 40 \) см: \[ A_{осн} = 40 \times 40 = 1600 \, \text{см}^2 \]

3. Вычисляем высоту пирамиды: В правильной четырёхугольной пирамиде высота опускается из вершины \( S \) на центр основания (точка O), которая является серединой диагонали квадрата \( ABCD \). Длина диагонали квадрата будет вычисляться по формуле: \[ d = a\sqrt{2} \] где \( a = 40 \) см. Таким образом: \[ d = 40\sqrt{2} \, \text{см} \] Половина диагонали: \[ r = \frac{d}{2} = 20\sqrt{2} \, \text{см} \]

4. Находим высоту \( h \) пирамиды: Найдём высоту с использованием теоремы Пифагора в треугольнике \( SСO \), где \( SC = 52 \, \text{см} \) (основание ребра) и \( OC = r = 20\sqrt{2} \): \[ SC^2 = SO^2 + OC^2 \] \[ 52^2 = h^2 + (20\sqrt{2})^2 \] \[ 2704 = h^2 + 800 \] \[ h^2 = 2704 - 800 = 1904 \] \[ h = \sqrt{1904} \approx 43.67 \, \text{см} \]

5. Находим площадь боковой поверхности: Площадь боковой поверхности \( A_{бок} \) — это сумма площадей всех треугольников, образующих боковую поверхность. У нас их 4: \[ A_{бок} = \frac{1}{2} \cdot \text{периметр основания} \cdot h \] Периметр основания: \[ P = 4a = 4 \times 40 = 160 \, \text{см} \] Подставим значения: \[ A_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 160 \cdot 43.67 \approx 3485.6 \, \text{см}^2 \]

6. Находим общую площадь поверхности: Теперь сложим площади основания и боковой поверхности: \[ A_{пол} = A_{осн} + A_{бок} \] \[ A_{пол} = 1600 + 3485.6 \approx 5085.6 \, \text{см}^2 \]

Таким образом, площадь полной поверхности пирамиды SABCD составляет примерно \( 5085.6 \, \text{см}^2 \).