Чтобы решить задачу, начнем с анализа данных, которые нам даны. У нас имеется трапеция ABCD с основаниями AB и CD. Также известно, что отрезок EF, параллельный основаниям трапеции, пересекает боковые стороны AB и CD в точках E и F соответственно.
Шаг 1: Понимание соотношений
Длины оснований:
- Длина основания AD = 45 единиц.
- Длина основания BC = 15 единиц.
Соотношение отрезков:
- ( \frac{CF}{DF} = \frac{3}{7} )
Это соотношение говорит о том, что отрезок CF составляет 3 части, а отрезок DF — 7 частей. Обозначим длину отрезка DF как ( 7x ), тогда длина отрезка CF будет равна ( 3x ).
Шаг 2: Находим общую длину CD
Сложим эти два отрезка, чтобы получить длину всей стороны CD:
[
CD = CF + DF = 3x + 7x = 10x.
]
Мы знаем, что длина основания CD равна 15 единиц, поэтому:
[
10x = 15 \implies x = 1.5.
]
Теперь можем найти длины отрезков CF и DF:
[
CF = 3x = 3 \times 1.5 = 4.5 \text{ единиц}
]
[
DF = 7x = 7 \times 1.5 = 10.5 \text{ единиц}.
]
Шаг 3: Используем теорему о параллельных отрезках
Согласно теореме о параллельных отрезках:
[
\frac{EF}{BC} = \frac{AD - EF}{AD}.
]
Таким образом, пусть ( EF = x ). Подставим известные значения в уравнение:
[
\frac{x}{15} = \frac{45 - x}{45}.
]
Шаг 4: Решение уравнения
Теперь умножим обе стороны на 15 * 45:
[
45x = 15(45 - x).
]
Раскроем скобки:
[
45x = 675 - 15x.
]
Переместим все члены с ( x ) в одну сторону:
[
45x + 15x = 675.
]
[
60x = 675.
]
Теперь разделим обе стороны на 60:
[
x = \frac{675}{60} = 11.25.
]
Ответ
Таким образом, длина отрезка ( EF ) равна 11.25 единиц.
Заключение
Длина отрезка ( EF ) составляет 11.25 единиц. Это значение получено с использованием теоремы о пропорциональности сегментов, образованных параллельными линиями в трапеции.
