Окружность с центром в точке О задана уравнением (х-4)²+(у+6)²=9. Когда эту окружность повернули на 90° против часовой стрелки относительно точки С(7;-3), она перешла в окружность…

Для начала разберем данное уравнение окружности и выясним, где находится ее центр и радиус.

1. Идентифицируем центр и радиус окружности: Уравнение окружности имеет вид \((x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2\), где \((h, k)\) - координаты центра, а \(r\) - радиус.

   В нашем случае уравнение окружности выглядит так: \[ (x - 4)^2 + (y + 6)^2 = 9 \] Здесь видно, что:

   • Центр \(O\) = (4, -6)
   • Радиус \(r = 3\) (так как \(r^2 = 9\))

2. Поворот окружности на 90° против часовой стрелки: Теперь нам нужно понять, как изменится положение центра окружности \(O\) после поворота на 90° против часовой стрелки относительно точки \(C(7; -3)\).

   Для того чтобы выполнить поворот, воспользуемся формулой: \[ O' = C + R(O - C) \] где:

   • \(R\) - матрица поворота на 90° против часовой стрелки: \[ R = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \]
   • К точке \(C\) добавим смещение от точки \(C\) до \(O\).

   Сначала найдём вектор \(O - C\): \[ O - C = (4 - 7, -6 + 3) = (-3, -3) \]

   Теперь применим матрицу поворота к этому вектору: \[ R \cdot (O - C) = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -3 \\ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \end{pmatrix} \]

   Теперь добавим это смещение к координатам точки \(C\): \[ O_1 = C + R(O - C) = (7, -3) + (-3, 3) = (7 - 3, -3 + 3) = (4, 0) \]

3. Запишем уравнение окружности с новым центром: Радиус окружности остается прежним (3), так как само окружность не изменяется. Таким образом, уравнение окружности с центром \(O_1(4, 0)\) будет выглядеть как: \[ (x - 4)^2 + (y - 0)^2 = 9 \]

   И упростим это: \[ (x - 4)^2 + y^2 = 9 \]

4. Вывод: Окончательно, уравнение окружности с новым центром \(O_1\) будет: \[ (x - 4)^2 + y^2 = 9 \]

Это и есть уравнение окружности, которая получается после поворота исходной окружности на 90° против часовой стрелки.