Окружность с центром в точке О задана уравнением (х-4)²+(у+6)²=9. Когда эту окружность повернули на 90° против часовой стрелки относительно точки С(7;-3), она перешла в окружность с центром в точке О1. Какой вид имеет уравнение окружности с центром в точке О1

Для начала разберем данное уравнение окружности и выясним, где находится ее центр и радиус. 1. **Идентифицируем центр и радиус окружности:** Уравнение окружности имеет вид \((x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2\), где \((h, k)\) - координаты центра, а \(r\) - радиус. В нашем случае уравнение окружности выглядит так: \[ (x - 4)^2 + (y + 6)^2 = 9 \] Здесь видно, что: - Центр \(O\) = (4, -6) - Радиус \(r = 3\) (так как \(r^2 = 9\)) 2. **Поворот окружности на 90° против часовой стрелки:** Теперь нам нужно понять, как изменится положение центра окружности \(O\) после поворота на 90° против часовой стрелки относительно точки \(C(7; -3)\). Для того чтобы выполнить поворот, воспользуемся формулой: \[ O' = C + R(O - C) \] где: - \(R\) - матрица поворота на 90° против часовой стрелки: \[ R = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \] - К точке \(C\) добавим смещение от точки \(C\) до \(O\). Сначала найдём вектор \(O - C\): \[ O - C = (4 - 7, -6 + 3) = (-3, -3) \] Теперь применим матрицу поворота к этому вектору: \[ R \cdot (O - C) = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -3 \\ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \end{pmatrix} \] Теперь добавим это смещение к координатам точки \(C\): \[ O_1 = C + R(O - C) = (7, -3) + (-3, 3) = (7 - 3, -3 + 3) = (4, 0) \] 3. **Запишем уравнение окружности с новым центром:** Радиус окружности остается прежним (3), так как само окружность не изменяется. Таким образом, уравнение окружности с центром \(O_1(4, 0)\) будет выглядеть как: \[ (x - 4)^2 + (y - 0)^2 = 9 \] И упростим это: \[ (x - 4)^2 + y^2 = 9 \] 4. **Вывод:** Окончательно, уравнение окружности с новым центром \(O_1\) будет: \[ (x - 4)^2 + y^2 = 9 \] Это и есть уравнение окружности, которая получается после поворота исходной окружности на 90° против часовой стрелки.