Треугольник со сторонами 15см, 42см и 51см вращается около большей стороны. Найдите объем тела вращения.

Чтобы найти объем тела вращения, которое образуется при вращении треугольника вокруг одной из его сторон, нужно использовать формулу для объема тела вращения.

1. Определяем параметры треугольника: У нас есть треугольник со сторонами 15 см, 42 см и 51 см. Наибольшая сторона — 51 см.

2. Выбираем метод вычисления объема: Так как треугольник вращается вокруг своей большей стороны, мы можем использовать формулу для объема конуса. Объем конуса рассчитывается по формуле: \[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \] где \( r \) — радиус основания (в нашем случае высота треугольника, проведённая к основанию), а \( h \) — высота (в нашем случае длина стороны, вокруг которой происходит вращение).

3. Находим высоту треугольника: Для нахождения высоты можно использовать формулу площади треугольника через его стороны, применяя теорему Герона: \[ s = \frac{a + b + c}{2} \] где \( a = 15 \), \( b = 42 \), \( c = 51 \). Подсчитаем полупериметр: \[ s = \frac{15 + 42 + 51}{2} = 54 \]

   Теперь можем найти площадь \( A \) треугольника по формуле: \[ A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \] Подставим значения: \[ A = \sqrt{54 \cdot (54 - 15) \cdot (54 - 42) \cdot (54 - 51)} = \sqrt{54 \cdot 39 \cdot 12 \cdot 3} \]

   Вычислим \( (54 - 15) = 39 \), \( (54 - 42) = 12 \), \( (54 - 51) = 3 \): \[ A = \sqrt{54 \cdot 39 \cdot 12 \cdot 3} \]

   После вычислений получаем: \[ A = \sqrt{54 \cdot 1392} = \sqrt{75288} \approx 274 \]

4. Находим высоту, используя площадь: Площадь также можно выразить через основание (51 см) и высоту \( h \): \[ A = \frac{1}{2} \cdot основание \cdot высота \] Подставляем известные значения: \[ 274 = \frac{1}{2} \cdot 51 \cdot h \] Отсюда: \[ h = \frac{274 \cdot 2}{51} \approx 10.78 \]

5. Рассчитываем объем: Теперь, зная высоту конуса (которая равна высоте треугольника) и радиус (15 см — одна из оставшихся сторон), можем подставить значения в формулу для объема: \[ V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot (15)^2 \cdot 10.78 \] \[ V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 225 \cdot 10.78 \] \[ V \approx \frac{1}{3} \cdot 3.14 \cdot 2436 \approx 2556.72 \]

Таким образом, объем тела вращения треугольника при его вращении вокруг стороны 51 см составляет примерно \( 2556.72 \) см³.