x²+3x-4>0
Чтобы решить неравенство \(x^2 + 3x - 4 > 0\), сделаем это шаг за шагом.
Шаг 1: Найти корни квадратного уравнения
Для начала найдем корни соответствующего квадратного уравнения \(x^2 + 3x - 4 = 0\). Мы можем использовать формулу дискриминанта, которая выражается как:
\[ D = b^2 - 4ac \]
где \(a = 1\), \(b = 3\), \(c = -4\).
Подставляем значения:
\[ D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 \]
Так как дискриминант положителен (\(D > 0\)), это означает, что у уравнения есть два различных корня.
Теперь найдем сами корни, используя формулу:
\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]
Подставляем данные значения:
\[ x_1 = \frac{-3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 5}{2} = \frac{2}{2} = 1 \] \[ x_2 = \frac{-3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 - 5}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \]
Таким образом, корни уравнения \(x^2 + 3x - 4 = 0\) это \(x_1 = 1\) и \(x_2 = -4\).
Шаг 2: Заключение интервалов
Теперь мы можем размешать условия на интервалах, которые определяются найденными корнями. Наши корни делят числовую ось на три интервала:
- \( (-\infty, -4) \)
- \( (-4, 1) \)
- \( (1, \infty) \)
Шаг 3: Определение знака выражения на каждом интервале
Теперь нужно определить знак выражения \(x^2 + 3x - 4\) на каждом из этих интервалов. Мы можем взять тестовые точки из каждого интервала.
Интервал \( (-\infty, -4) \): возьмем \(x = -5\):
\[ (-5)^2 + 3(-5) - 4 = 25 - 15 - 4 = 6 \quad (> 0) \]
Интервал \( (-4, 1) \): возьмем \(x = 0\):
\[ 0^2 + 3(0) - 4 = -4 \quad (< 0) \]
Интервал \( (1, \infty) \): возьмем \(x = 2\):
\[ 2^2 + 3(2) - 4 = 4 + 6 - 4 = 6 \quad (> 0) \]
Шаг 4: Составление ответа
Теперь мы можем сделать вывод о знаке выражения на каждом интервале:
- На интервале \( (-\infty, -4) \) — положительно.
- На интервале \( (-4, 1) \) — отрицательно.
- На интервале \( (1, \infty) \) — положительно.
Шаг 5: Запись ответа для неравенства
Нам нужно те интервалы, где выражение больше нуля:
\[ (-\infty, -4) \cup (1, \infty) \]
Из этого следует, что решение неравенства \(x^2 + 3x - 4 > 0\) — это:
\[ x \in (-\infty, -4) \cup (1, \infty) \]
Заключение
Таким образом, интервал \(x < -4\) и \(x > 1\) являются решениями данного неравенства. Если у тебя возникли дополнительные вопросы по этому решению, не стесняйся спрашивать!
