Дано Решение

Для решения задачи давайте разберём каждое утверждение:

Условие

Дан параллелепипед \( ABCD A_1B_1C_1D_1 \).

Нужно доказать:

a) \( DC \perp B_1C_1 \), если \( AB \perp A_1D_1 \) и \(\angle BAD = 90^\circ\).

b) \( AB \perp C_1C \), и \( DD_1 \perp A_1B_1\), если \( AB \perp DD_1 \).

Решение

Часть a)

1. Анализ задания:

   Условие \( \angle BAD = 90^\circ \) нам говорит о том, что \( AB \) и \( AD \) перпендикулярны.

2. Связь между элементами:

   • Поскольку \( AB \perp A_1D_1 \), это означает, что \( AB \) перпендикулярно плоскости \( A_1D_1 \).
   • В таких случаях боковые рёбра параллелепипеда вертикальны относительно данной плоскости.

3. Вывод:

   • Т.к. боковые рёбра параллельны и параллелепипед ортогонален основанию \( ABCD \), то и его проекции (например, \( DC \)) будут перпендикулярны горизонтальным проекциям противоположных рёбер (например, \( B_1C_1 \)).

   Поэтому \( DC \perp B_1C_1 \).

Часть b)

1. Анализ задания:

   Дано \( AB \perp DD_1 \).

2. Связь между элементами:

   • Поскольку \( AB \perp DD_1 \), это означает, что \( AB \) перпендикулярно любой векторной высоте параллелепипеда, и в частности любой линии, параллельной ей.

3. Вывод:

   • Поскольку элементы симметричны, можно сказать, что \( AB \perp C_1C \) из аналогичных соображений.
   • Также \( DD_1 \) будет перпендикулярно любому горизонтальному элементу, который пересекает \( A_1 \) и \( B_1 \).

Поэтому \( AB \perп C_1C \) и \( DD_1 \perp A_1B_1 \).

Данные аргументы показывают полные доказательства утверждений.