Найди значение выражения 2 cos2 60 - sin2 30 + sin 60 ctg 60

Для того чтобы вычислить значение выражения \( 2 \cos^2 60^\circ - \sin^2 30^\circ + \sin 60^\circ \cdot \cot 60^\circ \), давайте рассмотрим каждую часть по отдельности. ### Шаг 1: Поиск значений тригонометрических функций **1. Найдем \(\cos 60^\circ\):** \[ \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \] **2. Найдем \(\sin 30^\circ\):** \[ \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \] **3. Найдем \(\sin 60^\circ\):** \[ \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \] **4. Найдем \(\cot 60^\circ\):** \[ \cot 60^\circ = \frac{1}{\tan 60^\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}} \quad (\text{так как } \tan 60^\circ = \sqrt{3}) \] ### Шаг 2: Подстановка значений в выражение Теперь подставим найденные значения в исходное выражение: \[ 2 \cos^2 60^\circ - \sin^2 30^\circ + \sin 60^\circ \cdot \cot 60^\circ \] Подставляем значения: \[ 2 \left(\frac{1}{2}\right)^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \] ### Шаг 3: Вычисление каждого члена 1. Вычисляем \(2 \left(\frac{1}{2}\right)^2\): \[ 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \] 2. Вычисляем \(-\left(\frac{1}{2}\right)^2\): \[ -\frac{1}{4} \] 3. Вычисляем \(\sin 60^\circ \cdot \cot 60^\circ\): \[ \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{2} \] ### Шаг 4: Сложение всех членов Теперь соберем вместе все части: \[ \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \] Приведем к общему знаменателю (остатки от дробей): 1. Приведем \( \frac{1}{2}\) к четверкам: \[ \frac{1}{2} = \frac{2}{4} \] Таким образом: \[ \frac{2}{4} - \frac{1}{4} + \frac{2}{4} = \frac{2 - 1 + 2}{4} = \frac{3}{4} \] ### Ответ Значение выражения: \[ \frac{3}{4} \]