Найди значение выражения 2 cos2 60 - sin2 30 + sin 60 ctg 60

Для того чтобы вычислить значение выражения \( 2 \cos^2 60^\circ - \sin^2 30^\circ + \sin 60^\circ \cdot \cot 60^\circ \), давайте рассмотрим каждую часть по отдельности.

Шаг 1: Поиск значений тригонометрических функций

1. Найдем \(\cos 60^\circ\): \[ \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \]

2. Найдем \(\sin 30^\circ\): \[ \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \]

3. Найдем \(\sin 60^\circ\): \[ \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \]

4. Найдем \(\cot 60^\circ\): \[ \cot 60^\circ = \frac{1}{\tan 60^\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}} \quad (\text{так как } \tan 60^\circ = \sqrt{3}) \]

Шаг 2: Подстановка значений в выражение

Теперь подставим найденные значения в исходное выражение:

\[ 2 \cos^2 60^\circ - \sin^2 30^\circ + \sin 60^\circ \cdot \cot 60^\circ \]

Подставляем значения:

\[ 2 \left(\frac{1}{2}\right)^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \]

Шаг 3: Вычисление каждого члена

1. Вычисляем \(2 \left(\frac{1}{2}\right)^2\): \[ 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \]

2. Вычисляем \(-\left(\frac{1}{2}\right)^2\): \[ -\frac{1}{4} \]

3. Вычисляем \(\sin 60^\circ \cdot \cot 60^\circ\): \[ \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{2} \]

Шаг 4: Сложение всех членов

Теперь соберем вместе все части:

\[ \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \]

Приведем к общему знаменателю (остатки от дробей):

1. Приведем \( \frac{1}{2}\) к четверкам: \[ \frac{1}{2} = \frac{2}{4} \] Таким образом: \[ \frac{2}{4} - \frac{1}{4} + \frac{2}{4} = \frac{2 - 1 + 2}{4} = \frac{3}{4} \]

Ответ

Значение выражения: \[ \frac{3}{4} \]