Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями: 7х²-9у+9=0; 5х²-9у+27=0

Для нахождения площади фигуры, ограниченной двумя параболами, нужно в первую очередь понять, как выглядят эти уравнения и где они пересекаются. Давайте разберем эту задачу шаг за шагом. **1. Приведение уравнений к стандартному виду:** Мы имеем два уравнения: 1. \(7x^2 - 9y + 9 = 0\) 2. \(5x^2 - 9y + 27 = 0\) Начнем с того, чтобы выразить \(y\) в обоих уравнениях. - Из первого уравнения: \[ 9y = 7x^2 + 9 \implies y = \frac{7}{9}x^2 + 1 \] - Из второго уравнения: \[ 9y = 5x^2 + 27 \implies y = \frac{5}{9}x^2 + 3 \] Теперь у нас есть два уравнения парабол: 1. \(y_1 = \frac{7}{9}x^2 + 1\) 2. \(y_2 = \frac{5}{9}x^2 + 3\) **2. Поиск точек пересечения:** Чтобы найти точки пересечения парабол, приравняем их правые части: \[ \frac{7}{9}x^2 + 1 = \frac{5}{9}x^2 + 3 \] Теперь упростим это уравнение: \[ \frac{7}{9}x^2 - \frac{5}{9}x^2 + 1 - 3 = 0 \] \[ \frac{2}{9}x^2 - 2 = 0 \] Умножив на 9, чтобы избавиться от дробей, получаем: \[ 2x^2 - 18 = 0 \] \[ 2x^2 = 18 \implies x^2 = 9 \implies x = \pm 3 \] Теперь найдем соответствующие значения \(y\) для \(x = 3\) и \(x = -3\): При \(x = 3\): \[ y = \frac{7}{9}(3^2) + 1 = \frac{7}{9}(9) + 1 = 7 + 1 = 8 \] При \(x = -3\): \[ y = \frac{7}{9}((-3)^2) + 1 = \frac{7}{9}(9) + 1 = 7 + 1 = 8 \] Таким образом, точки пересечения: \((3, 8)\) и \((-3, 8)\). **3. Нахождение площади между параболами:** Площадь между двумя кривыми можно найти, используя интегралы. Площадь \(S\) будет равна: \[ S = \int_{-3}^{3} (y_1 - y_2) \, dx \] Подставим значения: \[ S = \int_{-3}^{3} \left( \left( \frac{7}{9}x^2 + 1 \right) - \left( \frac{5}{9}x^2 + 3 \right) \right) \, dx \] Упростим подынтегральное выражение: \[ S = \int_{-3}^{3} \left( \frac{7}{9}x^2 + 1 - \frac{5}{9}x^2 - 3 \right) \, dx \] \[ S = \int_{-3}^{3} \left( \frac{2}{9}x^2 - 2 \right) \, dx \] Теперь можем разбить интеграл: \[ S = \int_{-3}^{3} \frac{2}{9}x^2 \, dx - \int_{-3}^{3} 2 \, dx \] Сначала вычислим первый интеграл: \[ \int_{-3}^{3} x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-3}^{3} = \frac{3^3}{3} - \frac{(-3)^3}{3} = \frac{27}{3} - \frac{-27}{3} = 9 + 9 = 18 \] Теперь подставим это значение в площадь: \[ S = \frac{2}{9} \cdot 18 - 2 \cdot \left[ x \right]_{-3}^{3} \] Для второго интеграла: \[ \int_{-3}^{3} 2 \, dx = 2 \cdot (3 - (-3)) = 2 \cdot 6 = 12 \] Подставим в формулу площади: \[ S = \frac{2}{9} \cdot 18 - 12 = 4 - 12 = -8 \] Это отрицательное значение означает, что мы неправильно определили, какие параболы находятся над какими (но по абсолютной величине это будет тоже \(8\)). Площадь не может быть отрицательной, поэтому берем модуль. **4. Ответ:** Площадь фигуры, ограниченной двумя параболами, равна \(8\) квадратных единиц.