1. В прямоугольном треугольнике DAS угол Ѕ равен 30°, угол А равен 90°. Найдите гипотенузу DS этого треугольника, если катет DA равен 8,5см.
2. Высота, проведённая к боковой стороне равнобедренного треугольника, равна 17. Угол при вершине этого треугольника равен 120°. Найдите основание этого равнобедренного треугольника.
3. Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°. Сумма гипотенузы и меньшего катета равны 31,5 см. Найдите гипотенузу.
4. Треугольник МОК прямоугольный. Угол О равен 90°. ОК-4, МК-8. Найдите угол М этого треугольника.
### Задача 1
**Дано:** Прямоугольный треугольник DAS, угол S = 30°, угол A = 90°, катет DA = 8,5 см.
**Найти:** Гипотенузу DS.
**Решение:**
1. В прямоугольном треугольнике с углом 30° известно, что длина противолежащего катета (DA) в два раза меньше гипотенузы (DS). Это свойство 30-60-90 градусов.
Формула гипотенузы:
\[
DS = \frac{DA}{\sin(30°)}
\]
2. Поскольку \(\sin(30°) = 0,5\), подставляем значение:
\[
DS = \frac{8,5}{0,5} = 17 \text{ см}
\]
**Ответ:** Гипотенуза DS равна 17 см.
---
### Задача 2
**Дано:** Высота равнобедренного треугольника h = 17, угол при вершине A = 120°.
**Найти:** Основание (боковую сторону) равнобедренного треугольника.
**Решение:**
1. Разделим треугольник пополам, проводя высоту из вершины A. Это создаст два прямоугольных треугольника, где:
- h = 17 см (высота)
- угол у основания = \(\frac{120°}{2} = 60°\)
2. Поскольку он прямоугольный, можем использовать тригонометрию:
\[
\tan(60°) = \frac{h}{x}
\]
где x = половина основания.
Известно, что \(\tan(60°) = \sqrt{3}\).
\[
\sqrt{3} = \frac{17}{x} \Rightarrow x = \frac{17}{\sqrt{3}} \approx 9,8 \text{ см}
\]
3. Полное основание = 2*x:
\[
основание = 2 \times 9,8 = 19,6 \text{ см}
\]
**Ответ:** Основание равнобедренного треугольника равно 19,6 см.
---
### Задача 3
**Дано:** Прямоугольный треугольник, угол A = 60°, сумма гипотенузы c и меньшего катета a равна 31,5 см.
**Найти:** Гипотенузу c.
**Решение:**
1. Обозначим гипотенузу как c, а меньший катет как a.
\[
c + a = 31,5 \text{ (1)}
\]
2. В прямоугольном треугольнике с углом 60° выполняется следующее соотношение между катетами:
\[
a = c \cdot \sin(60°) = c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \text{ (2)}
\]
3. Подставим (2) в (1):
\[
c + c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 31,5
\]
\[
c(1 + \frac{\sqrt{3}}{2}) = 31,5
\]
\[
c = \frac{31,5}{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{31,5 \cdot 2}{2 + \sqrt{3}} \approx 20,25 \text{ см}
\]
**Ответ:** Гипотенуза равна примерно 20,25 см.
---
### Задача 4
**Дано:** Прямоугольный треугольник МОК, угол O = 90°, ОК = 4 см, МК = 8 см.
**Найти:** Угол M.
**Решение:**
1. Используем теорему Пифагора для нахождения гипотенузы МО:
\[
МО^2 + ОК^2 = МК^2
\]
\[
МО^2 + 4^2 = 8^2
\]
\[
МО^2 + 16 = 64 \Rightarrow МО^2 = 48 \Rightarrow МО = \sqrt{48} = 4\sqrt{3} \text{ см}
\]
2. Теперь можем найти угол M с использованием тангенса:
\[
\tan(M) = \frac{ОК}{МО} = \frac{4}{4\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow M = 30°
\]
**Ответ:** Угол M равен 30°.
