1. В прямоугольном треугольнике DAS угол Ѕ равен 30°, угол А равен 90°. Найдите гипотенузу DS этого треугольника, если катет DA равен 8,5см. 2. Высота, проведённая к боковой…

Задача 1

Дано: Прямоугольный треугольник DAS, угол S = 30°, угол A = 90°, катет DA = 8,5 см.

Найти: Гипотенузу DS.

Решение:

1. В прямоугольном треугольнике с углом 30° известно, что длина противолежащего катета (DA) в два раза меньше гипотенузы (DS). Это свойство 30-60-90 градусов.

   Формула гипотенузы: \[ DS = \frac{DA}{\sin(30°)} \]

2. Поскольку \(\sin(30°) = 0,5\), подставляем значение: \[ DS = \frac{8,5}{0,5} = 17 \text{ см} \]

Ответ: Гипотенуза DS равна 17 см.

Задача 2

Дано: Высота равнобедренного треугольника h = 17, угол при вершине A = 120°.

Найти: Основание (боковую сторону) равнобедренного треугольника.

Решение:

1. Разделим треугольник пополам, проводя высоту из вершины A. Это создаст два прямоугольных треугольника, где:

   • h = 17 см (высота)
   • угол у основания = \(\frac{120°}{2} = 60°\)

2. Поскольку он прямоугольный, можем использовать тригонометрию: \[ \tan(60°) = \frac{h}{x} \] где x = половина основания. Известно, что \(\tan(60°) = \sqrt{3}\).

   \[ \sqrt{3} = \frac{17}{x} \Rightarrow x = \frac{17}{\sqrt{3}} \approx 9,8 \text{ см} \]

3. Полное основание = 2*x: \[ основание = 2 \times 9,8 = 19,6 \text{ см} \]

Ответ: Основание равнобедренного треугольника равно 19,6 см.

Задача 3

Дано: Прямоугольный треугольник, угол A = 60°, сумма гипотенузы c и меньшего катета a равна 31,5 см.

Найти: Гипотенузу c.

Решение:

1. Обозначим гипотенузу как c, а меньший катет как a. \[ c + a = 31,5 \text{ (1)} \]

2. В прямоугольном треугольнике с углом 60° выполняется следующее соотношение между катетами: \[ a = c \cdot \sin(60°) = c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \text{ (2)} \]

3. Подставим (2) в (1): \[ c + c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 31,5 \] \[ c(1 + \frac{\sqrt{3}}{2}) = 31,5 \] \[ c = \frac{31,5}{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{31,5 \cdot 2}{2 + \sqrt{3}} \approx 20,25 \text{ см} \]

Ответ: Гипотенуза равна примерно 20,25 см.

Задача 4

Дано: Прямоугольный треугольник МОК, угол O = 90°, ОК = 4 см, МК = 8 см.

Найти: Угол M.

Решение:

1. Используем теорему Пифагора для нахождения гипотенузы МО: \[ МО^2 + ОК^2 = МК^2 \] \[ МО^2 + 4^2 = 8^2 \] \[ МО^2 + 16 = 64 \Rightarrow МО^2 = 48 \Rightarrow МО = \sqrt{48} = 4\sqrt{3} \text{ см} \]

2. Теперь можем найти угол M с использованием тангенса: \[ \tan(M) = \frac{ОК}{МО} = \frac{4}{4\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow M = 30° \]

Ответ: Угол M равен 30°.