Найдите площадь равнобедренного треугольника с боковой стороной, равной 6√2 и углом при основании, равным 75°.

Чтобы найти площадь равнобедренного треугольника с боковой стороной, равной \(6\sqrt{2}\), и углом при основании, равным \(75^\circ\), мы можем воспользоваться формулой для площади треугольника:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(C) \]

где \(a\) и \(b\) — это длины сторон, образующих угол \(C\). В нашем случае это боковые стороны (равные между собой) треугольника. Так как у нас равнобедренный треугольник, обе боковые стороны равны \(6\sqrt{2}\). Угол \(C\) будет равен \(75^\circ\).

Шаг 1: Подставим значения в формулу площади:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a \cdot \sin(75^\circ) = \frac{1}{2} \cdot (6\sqrt{2}) \cdot (6\sqrt{2}) \cdot \sin(75^\circ) \]

Шаг 2: Упростим это выражение:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot 72 \cdot \sin(75^\circ) \]

Шаг 3: Считаем \(\sin(75^\circ)\). Используя тригонометрическую формулу, можем выразить \(\sin(75^\circ)\):

\[ \sin(75^\circ) = \sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin(45^\circ)\cos(30^\circ) + \cos(45^\circ)\sin(30^\circ) \]

Значения этих функций:

\(\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}\), \(\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\), \(\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}\), \(\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}\).

Подставляем значения:

\[ \sin(75^\circ) = \left(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}\right) = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \]

Шаг 4: Подставим значение \(\sin(75^\circ)\) в формулу для площади:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot 72 \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \]

Шаг 5: Упростим:

\[ S = 18 \cdot (\sqrt{6} + \sqrt{2}) \]

Итак, окончательный ответ:

\[ S = 18(\sqrt{6} + \sqrt{2}) \quad \text{(площадь треугольника)} \]

Таким образом, площадь равнобедренного треугольника равна \(18(\sqrt{6} + \sqrt{2})\) квадратных единиц.