Найдите площадь равнобедренного треугольника с боковой стороной, равной 6√2 и углом при основании, равным 75°.
Для нахождения площади равнобедренного треугольника, у которого боковые стороны равны 6√2 и угол при основании составляет 75°, мы можем использовать формулу:
\[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(C) \]
где \( S \) — площадь треугольника, \( a \) и \( b \) — длины сторон, образующих угол \( C \).
В нашем случае основание (сторона, противоположная углу) также можно обозначить через боковые стороны, так как это равнобедренный треугольник. Так что:
- Боковая сторона \( a = 6\sqrt{2} \)
- Боковая сторона \( b = 6\sqrt{2} \)
- Угол при основании \( C = 75° \)
Теперь подставим значения в формулу:
\[ S = \frac{1}{2} \cdot (6\sqrt{2}) \cdot (6\sqrt{2}) \cdot \sin(75°) \]
Для начала найдем \( (6\sqrt{2}) \cdot (6\sqrt{2}) \):
\[ (6\sqrt{2}) \cdot (6\sqrt{2}) = 36 \cdot 2 = 72 \]
Теперь можем подставить это значение в формулу:
\[ S = \frac{1}{2} \cdot 72 \cdot \sin(75°) \]
Теперь найдем значение \( \sin(75°) \). Без калькулятора мы можем воспользоваться формулой суммы углов:
\[ \sin(75°) = \sin(45° + 30°) = \sin(45°)\cos(30°) + \cos(45°)\sin(30°) \]
Известные значения:
- \( \sin(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2} \)
- \( \cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
- \( \cos(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2} \)
- \( \sin(30°) = \frac{1}{2} \)
Теперь можем подставить эти значения:
\[ \sin(75°) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} \] \[ = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \]
Теперь подставим найденное значение \( \sin(75°) \) обратно в формулу площади:
\[ S = \frac{1}{2} \cdot 72 \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \] \[ = \frac{72}{8} \cdot (\sqrt{6} + \sqrt{2}) = 9 \cdot (\sqrt{6} + \sqrt{2}) \]
Итак, площадь равнобедренного треугольника составляет:
\[ S = 9(\sqrt{6} + \sqrt{2}) \]
Таким образом, мы получили полный ответ: площадь равнобедренного треугольника равна \( 9(\sqrt{6} + \sqrt{2}) \) квадратных единиц.
