В равнобедренный треугольник с основанием 14 и боковой стороной 25 вписана окружность. найдите длину окружности, делённую на π.
Чтобы решить задачу, начнем с того, что мы знаем:
- У нас есть равнобедренный треугольник, у которого основание \( AB = 14 \) и боковые стороны \( AC = BC = 25 \).
- Нужно найти длину окружности, делённую на \( \pi \) (т.е. радиус окружности).
Шаг 1: Найдем высоту треугольника
Для нахождения радиуса окружности, вписанной в треугольник, сначала нам нужно найти его площадь и полупериметр.
Нам нужно провести высоту из вершины \( C \) на основание \( AB \), пересекающую его в точке \( D \). Высота треугольника делит основание пополам, так что:
\[ AD = DB = \frac{AB}{2} = \frac{14}{2} = 7 \]
Теперь мы можем найти высоту \( CD \) с помощью теоремы Пифагора в \(\triangle ACD\):
\[ AC^2 = AD^2 + CD^2 \] \[ 25^2 = 7^2 + h^2 \] \[ 625 = 49 + h^2 \] \[ h^2 = 625 - 49 = 576 \quad \Rightarrow \quad h = \sqrt{576} = 24 \]
Теперь мы нашли высоту \( h = 24 \).
Шаг 2: Найдем площадь треугольника
Площадь \( S \) треугольника можно найти по формуле:
\[ S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 24 = 168 \]
Шаг 3: Найдем полупериметр треугольника
Полупериметр треугольника \( p \) исчисляется по формуле:
\[ p = \frac{AB + AC + BC}{2} = \frac{14 + 25 + 25}{2} = \frac{64}{2} = 32 \]
Шаг 4: Найдем радиус вписанной окружности
Радиус вписанной окружности \( r \) можно найти по формуле:
\[ r = \frac{S}{p} \] Подставим найденные значения:
\[ r = \frac{168}{32} = \frac{21}{4} = 5.25 \]
Шаг 5: Найдем длину окружности
Длина окружности \( L \), вписанной в треугольник, может быть найдена по формуле:
\[ L = 2 \pi r \]
Чтобы найти длину окружности, делённую на \( \pi \):
\[ L \div \pi = 2r = 2 \cdot \frac{21}{4} = \frac{42}{4} = 10.5 \]
Ответ
Длина окружности, делённая на \( \pi \), равна 10.5.
