Чтобы решить задачу, начнем с того, что мы знаем:
- У нас есть равнобедренный треугольник, у которого основание ( AB = 14 ) и боковые стороны ( AC = BC = 25 ).
- Нужно найти длину окружности, делённую на ( \pi ) (т.е. радиус окружности).
Шаг 1: Найдем высоту треугольника
Для нахождения радиуса окружности, вписанной в треугольник, сначала нам нужно найти его площадь и полупериметр.
Нам нужно провести высоту из вершины ( C ) на основание ( AB ), пересекающую его в точке ( D ). Высота треугольника делит основание пополам, так что:
[
AD = DB = \frac{AB}{2} = \frac{14}{2} = 7
]
Теперь мы можем найти высоту ( CD ) с помощью теоремы Пифагора в (\triangle ACD):
[
AC^2 = AD^2 + CD^2
]
[
25^2 = 7^2 + h^2
]
[
625 = 49 + h^2
]
[
h^2 = 625 - 49 = 576 \quad \Rightarrow \quad h = \sqrt{576} = 24
]
Теперь мы нашли высоту ( h = 24 ).
Шаг 2: Найдем площадь треугольника
Площадь ( S ) треугольника можно найти по формуле:
[
S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 24 = 168
]
Шаг 3: Найдем полупериметр треугольника
Полупериметр треугольника ( p ) исчисляется по формуле:
[
p = \frac{AB + AC + BC}{2} = \frac{14 + 25 + 25}{2} = \frac{64}{2} = 32
]
Шаг 4: Найдем радиус вписанной окружности
Радиус вписанной окружности ( r ) можно найти по формуле:
[
r = \frac{S}{p}
]
Подставим найденные значения:
[
r = \frac{168}{32} = \frac{21}{4} = 5.25
]
Шаг 5: Найдем длину окружности
Длина окружности ( L ), вписанной в треугольник, может быть найдена по формуле:
[
L = 2 \pi r
]
Чтобы найти длину окружности, делённую на ( \pi ):
[
L \div \pi = 2r = 2 \cdot \frac{21}{4} = \frac{42}{4} = 10.5
]
Ответ
Длина окружности, делённая на ( \pi ), равна 10.5.
