Найдите площадь фигуры , ограниченной графиками функции y=x^2-2x+2 и y=-x^2+6
Для нахождения площади фигуры, ограниченной графиками функций \( y = x^2 - 2x + 2 \) и \( y = -x^2 + 6 \), нужно выполнить следующие шаги:
Найти точки пересечения графиков:
Приравняем \( y = x^2 - 2x + 2 \) и \( y = -x^2 + 6 \):
\[ x^2 - 2x + 2 = -x^2 + 6 \]
Переносим все слагаемые в левую часть:
\[ 2x^2 - 2x - 4 = 0 \]
Упростим:
\[ x^2 - x - 2 = 0 \]
Решим квадратное уравнение:
\[ D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 \]
\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm 3}{2} \]
\[ x_1 = 2, \quad x_2 = -1 \]
Вычисление площади между кривыми:
Площадь между двумя кривыми определяется как интеграл разности функций от одной точки пересечения до другой:
\[ A = \int_{-1}^{2} \left((-x^2 + 6) - (x^2 - 2x + 2)\right) \, dx \]
Упростим выражение под интегралом:
\[ -x^2 + 6 - x^2 + 2x - 2 = -2x^2 + 2x + 4 \]
Теперь вычислим интеграл:
\[ A = \int_{-1}^{2} (-2x^2 + 2x + 4) \, dx \]
Разделим интеграл на части:
\[ A = \int_{-1}^{2} -2x^2 \, dx + \int_{-1}^{2} 2x \, dx + \int_{-1}^{2} 4 \, dx \]
Вычислим каждый из интегралов:
\[ \int -2x^2 \, dx = -\frac{2}{3}x^3 \]
\[ \int 2x \, dx = x^2 \]
\[ \int 4 \, dx = 4x \]
Подставляем пределы интегрирования:
\[ A = \left[-\frac{2}{3}x^3 \right]_{-1}^{2} + \left[x^2 \right]_{-1}^{2} + \left[4x \right]_{-1}^{2} \]
Вычисляем:
\[ = \left(-\frac{2}{3}(2)^3 + \frac{2}{3}(-1)^3\right) + \left((2)^2 - (-1)^2\right) + \left(4 \cdot 2 - 4 \cdot (-1)\right) \]
\[ = \left(-\frac{16}{3} + \frac{2}{3}\right) + \left(4 - 1\right) + \left(8 + 4\right) \]
\[ = -\frac{14}{3} + 3 + 12 \]
\[ = \frac{-14}{3} + \frac{9}{3} + \frac{36}{3} = \frac{31}{3} \]
Таким образом, площадь фигуры равна \(\frac{31}{3}\).
