4x 2 −3 5 2 x+ 5 3 =0 . Запиши корни в порядке убывания. Для обозначения обыкновенной дроби используй /.
Для решения уравнения \( 4x^2 - \frac{35}{2}x + \frac{53}{3} = 0 \) мы будем использовать формулу квадратного уравнения.
Общее уравнение квадратного типа имеет вид:
\[ ax^2 + bx + c = 0, \]
где \( a \), \( b \) и \( c \) — коэффициенты. В нашем случае:
- \( a = 4 \)
- \( b = -\frac{35}{2} \)
- \( c = \frac{53}{3} \)
Шаг 1: Вычисление дискриминанта
Сначала нам необходимо вычислить дискриминант \( D \):
\[ D = b^2 - 4ac. \]
Подставим значения \( a \), \( b \), и \( c \):
Вычисляем \( b^2 \): \[ b^2 = \left(-\frac{35}{2}\right)^2 = \frac{1225}{4}. \]
Вычисляем \( 4ac \): \[ 4ac = 4 \cdot 4 \cdot \frac{53}{3} = \frac{848}{3}. \]
Приведем \( b^2 \) и \( 4ac \) к общему знаменателю: \[ D = \frac{1225}{4} - \frac{848}{3}. \] Общий знаменатель для 4 и 3 — 12. Перепишем дроби: \[ D = \frac{1225 \cdot 3}{12} - \frac{848 \cdot 4}{12} = \frac{3675 - 3392}{12} = \frac{283}{12}. \]
Шаг 2: Нахождение корней уравнения
Корни квадратного уравнения можно найти по формуле:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}. \]
Подставим наши значения:
Вычислим \( \sqrt{D} \): \[ \sqrt{D} = \sqrt{\frac{283}{12}} = \frac{\sqrt{283}}{\sqrt{12}} = \frac{\sqrt{283}}{2\sqrt{3}}. \]
Теперь подставим в формулу для нахождения корней: \[ x = \frac{-(-\frac{35}{2}) \pm \frac{\sqrt{283}}{2\sqrt{3}}}{2 \cdot 4} = \frac{\frac{35}{2} \pm \frac{\sqrt{283}}{2\sqrt{3}}}{8}. \]
Объединим дроби: \[ x = \frac{35 \pm \frac{\sqrt{283}}{\sqrt{3}}}{16}. \]
Теперь у нас есть два корня: \[ x_1 = \frac{35 + \frac{\sqrt{283}}{\sqrt{3}}}{16}, \] \[ x_2 = \frac{35 - \frac{\sqrt{283}}{\sqrt{3}}}{16}. \]
Шаг 3: Запись корней в порядке убывания
Корни в порядке убывания:
\[ x_1 = \frac{35 + \frac{\sqrt{283}}{\sqrt{3}}}{16}, \] \[ x_2 = \frac{35 - \frac{\sqrt{283}}{\sqrt{3}}}{16}. \]
Таким образом, корни уравнения \( 4x^2 - \frac{35}{2}x + \frac{53}{3} = 0 \) можно записать как:
- \( x_1 = \frac{35 + \sqrt{283}/\sqrt{3}}{16} \)
- \( x_2 = \frac{35 - \sqrt{283}/\sqrt{3}}{16} \)
Таким образом, мы вычислили и представили корни квадратного уравнения.
