Найдите сумму первых тридцати членов арифметической прогрессии – 24, – 19, – 14, …

Для решения задачи о нахождении суммы первых тридцати членов арифметической прогрессии, следуем пошагово.

Шаг 1: Определяем элементы арифметической прогрессии

Арифметическая прогрессия (АП) — это последовательность чисел, в которой разность между любыми двумя последовательными членами постоянна. В нашем случае члены прогрессии:

• Первый член (a₁) = -24
• Второй член (a₂) = -19
• Третий член (a₃) = -14

Шаг 2: Находим разность прогрессии

Разность прогрессии (d) — это разность между двумя последовательными членами.

\( d = a₂ - a₁ = -19 - (-24) = -19 + 24 = 5 \)

Таким образом, разность d = 5.

Шаг 3: Вычисляем сумму первых 30 членов АП

Формула для суммы первых n членов арифметической прогрессии:

\[ S_n = \frac{n}{2} \times (a₁ + a_n) \]

где:

• \( S_n \) — сумма первых n членов,
• \( n \) — количество членов (в нашем случае n = 30),
• \( a₁ \) — первый член прогрессии,
• \( a_n \) — n-й член прогрессии.

Сначала найдем n-й член (a₃₀):

\[ a_n = a₁ + (n-1) \cdot d \]

Подставляем значения:

\[ a_{30} = -24 + (30-1) \cdot 5 \] \[ = -24 + 29 \cdot 5 \] \[ = -24 + 145 \] \[ = 121 \]

Теперь у нас есть первый член (a₁ = -24) и тридцатый член (a₃₀ = 121).

Шаг 4: Находим сумму S₃₀

Теперь подставляем найденные значения в формулу суммы:

\[ S_{30} = \frac{30}{2} \times (a₁ + a_{30}) \] \[ = 15 \times (-24 + 121) \] \[ = 15 \times 97 \] \[ = 1455 \]

Ответ

Сумма первых тридцати членов арифметической прогрессии составляет 1455.