Решить

Для решения данного интеграла:

\[ \int_1^3 \frac{1}{\sqrt{2x + 1}} \, dx \]

мы можем использовать метод подстановки.

1. Подстановка:

   Чтобы упростить интеграл, сделаем замену переменной. Пусть:

   \[ u = \sqrt{2x + 1} \]

   Тогда:

   \[ u^2 = 2x + 1 \]

   \[ 2x = u^2 - 1 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{u^2 - 1}{2} \]

   Теперь найдём \( dx \):

   \[ \frac{du}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{2x + 1}} = \frac{1}{2u} \quad \Rightarrow \quad dx = 2u \, du \]

2. Подстановка в пределы:

   Когда \( x = 1 \), тогда:

   \[ u = \sqrt{2(1) + 1} = \sqrt{3} \]

   Когда \( x = 3 \), тогда:

   \[ u = \sqrt{2(3) + 1} = \sqrt{7} \]

3. Замена в интеграле:

   Теперь подставим всё в интеграл:

   \[ \int_{\sqrt{3}}^{\sqrt{7}} \frac{1}{u} \cdot 2u \, du = 2 \int_{\sqrt{3}}^{\sqrt{7}} 1 \, du \]

   Интеграл от \( 1 \) по \( du \) просто равен разности верхнего и нижнего пределов:

   \[ 2 \left[u\right]_{\sqrt{3}}^{\sqrt{7}} = 2 (\sqrt{7} - \sqrt{3}) \]

4. Ответ:

   Итак, окончательное значение интеграла:

   \[ 2 (\sqrt{7} - \sqrt{3}) \]

Это и есть решение данного интеграла.