Решить

Для решения данного интеграла: \[ \int_1^3 \frac{1}{\sqrt{2x + 1}} \, dx \] мы можем использовать метод подстановки. 1. **Подстановка:** Чтобы упростить интеграл, сделаем замену переменной. Пусть: \[ u = \sqrt{2x + 1} \] Тогда: \[ u^2 = 2x + 1 \] \[ 2x = u^2 - 1 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{u^2 - 1}{2} \] Теперь найдём \( dx \): \[ \frac{du}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{2x + 1}} = \frac{1}{2u} \quad \Rightarrow \quad dx = 2u \, du \] 2. **Подстановка в пределы:** Когда \( x = 1 \), тогда: \[ u = \sqrt{2(1) + 1} = \sqrt{3} \] Когда \( x = 3 \), тогда: \[ u = \sqrt{2(3) + 1} = \sqrt{7} \] 3. **Замена в интеграле:** Теперь подставим всё в интеграл: \[ \int_{\sqrt{3}}^{\sqrt{7}} \frac{1}{u} \cdot 2u \, du = 2 \int_{\sqrt{3}}^{\sqrt{7}} 1 \, du \] Интеграл от \( 1 \) по \( du \) просто равен разности верхнего и нижнего пределов: \[ 2 \left[u\right]_{\sqrt{3}}^{\sqrt{7}} = 2 (\sqrt{7} - \sqrt{3}) \] 4. **Ответ:** Итак, окончательное значение интеграла: \[ 2 (\sqrt{7} - \sqrt{3}) \] Это и есть решение данного интеграла.