Задача Задача №3005553
А
А
может ли в эйлеронграфе не быть вершин нечётной степени может ли быть только одна вершина нечётной степени две вершины нечётной степени три или больше?
Чтобы понять, возможно ли наличие вершин нечётной степени в эйлерографе, начнём с определения, что такое эйлерограф.
Эйлерограф (или эйлеров граф) — это граф, в котором существует путь, называемый эйлеровым, проходящий через каждое ребро ровно один раз и возвращающийся в начальную вершину. Для существования эйлерова цикла в графе необходимо, чтобы все вершины имели чётную степень. Теперь рассмотрим различные случаи для вершин нечётной степени.
Нет вершин нечётной степени:
- Это возможно. Все вершины имеют чётную степень, что соответствует определению эйлерова графа. В таком случае граф обладает эйлеровым циклом.
Одна вершина нечётной степени:
- Это невозможно. Если одна вершина имеет нечётную степень, значит, количество рёбер, инцидентных этой вершине, нечётно. По теореме о вершинах, каждая пара добавляет два к общей степени всех вершин (из-за входящего и исходящего ребра), поэтому сумма степеней всех вершин графа должна быть чётной. Таким образом, наличие одной вершины нечётной степени приведёт к противоречию.
Две вершины нечётной степени:
- Это возможно. В графе может быть ровно две вершины с нечётной степенью. В этом случае граф не будет иметь эйлерова цикла, но может иметь эйлеров путь — это означает, что есть путь, который проходит через все рёбра, но не возвращается в исходную вершину. Так, на выходе мы получим граф, где две вершины имеют нечётную степень.
Три и более вершин нечётной степени:
- Это также невозможно. Если в графе более двух вершин имеют нечётную степень, то сумма их степеней будет нечётной. Это опять нарушит условие о том, что сумма всех степеней графа должна быть чётной. Таким образом, наличие трёх или более вершин нечётной степени исключает возможность существования эйлерова графа.
Вывод:
- В эйлерографе могут отсутствовать вершины нечётной степени (все вершин чётной степени), либо может быть ровно две вершины нечётной степени. В других случаях (одна или три и более нечётные степени) граф не будет эйлеровым.
