Для того чтобы выяснить, сколькими способами можно выбрать 4 книги из 14, мы можем использовать формулу комбинаторики, которая называется "количество сочетаний". Она позволяет вычислить количество способов выбрать ( k ) объектов из ( n ) без учета порядка. Формула для расчета сочетаний выглядит следующим образом:
[
C(n, k) = \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!}
]
где:
- ( n ) — общее количество объектов (в нашем случае, книг),
- ( k ) — количество выбираемых объектов (в нашем случае, количество выбираемых книг),
- ( n! ) — факториал числа ( n ) (произведение всех натуральных чисел от 1 до ( n )).
В данной задаче:
- ( n = 14 ) (количество книг),
- ( k = 4 ) (количество книг, которые нужно выбрать).
Теперь подставим значения в формулу:
[
C(14, 4) = \frac{14!}{4! \cdot (14 - 4)!} = \frac{14!}{4! \cdot 10!}
]
Теперь нам нужно вручную сократить выражение. Напомним, что ( n! ) можно выразить как ( n \times (n-1) \times (n-2) \times \ldots \times 1 ). Таким образом, ( 14! ) можно выразить как ( 14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10! ).
Сокращаем ( 10! ) в числителе и знаменателе:
[
C(14, 4) = \frac{14 \times 13 \times 12 \times 11}{4!}
]
Теперь посчитаем ( 4! ):
[
4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24
]
Теперь подставим это значение обратно в формулу:
[
C(14, 4) = \frac{14 \times 13 \times 12 \times 11}{24}
]
Теперь можем произвести умножение и деление:
- Умножим числитель:
[
14 \times 13 = 182,
]
[
182 \times 12 = 2184,
]
[
2184 \times 11 = 24024.
]
- Теперь делим на 24:
[
C(14, 4) = \frac{24024}{24} = 1001.
]
Итак, количество способов выбрать 4 книги из 14 равно 1001.
