Чтобы решить задачу о количестве вершин в полном графе, используем свойства полного графа.
Полный граф ( K_n ) — это граф, в котором каждая пара различных вершин соединена ровно одной ребром. Если у нас имеется ( n ) вершин, то количество рёбер в полном графе можно вычислить по следующей формуле:
[
E = \frac{n(n-1)}{2}
]
где ( E ) — количество рёбер, а ( n ) — количество вершин.
В вашей задаче количество рёбер равно 120. Подставим это значение в формулу и решим уравнение относительно ( n ):
[
120 = \frac{n(n-1)}{2}
]
Умножим обе стороны уравнения на 2, чтобы избавиться от деления:
[
240 = n(n-1)
]
Теперь у нас есть квадратное уравнение:
[
n^2 - n - 240 = 0
]
Мы можем решить это уравнение, используя формулу для нахождения корней квадратного уравнения:
[
n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
]
Здесь ( a = 1 ), ( b = -1 ), и ( c = -240 ). Подставим эти значения в формулу:
[
n = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-240)}}{2 \cdot 1}
]
[
n = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 960}}{2}
]
[
n = \frac{1 \pm \sqrt{961}}{2}
]
[
n = \frac{1 \pm 31}{2}
]
Теперь найдём два возможных значения для ( n ):
1.
[
n = \frac{32}{2} = 16
]
2.
[
n = \frac{-30}{2} = -15 \quad \text{(отбрасываем, так как количество вершин не может быть отрицательным)}
]
Таким образом, единственное подходящее решение:
[
n = 16
]
Ответ: В полном графе с 120 рёбрами 16 вершин.
