Вычисли значение выражения: $$\frac{C_{12}^5}{C_{10}^3}$$.
Для решения задачи начнем с определения, что такое биномиальные коэффициенты:
Биномиальный коэффициент \( C_{n}^{k} \) (или \(\binom{n}{k}\)) обозначает количество способов выбрать \( k \) объектов из \( n \) без учета порядка. Он вычисляется по формуле:
\[ C_{n}^{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]
где \( n! \) — это факториал числа \( n \), а \( k! \), \( (n-k)! \) — факториалы \( k \) и \( (n-k) \) соответственно.
Теперь мы можем вычислить \( C_{12}^{5} \) и \( C_{10}^{3} \):
- Вычисляем \( C_{12}^{5} \):
\[ C_{12}^{5} = \frac{12!}{5!(12-5)!} = \frac{12!}{5! \cdot 7!} \]
Вспомним, что \( 12! = 12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7! \), поэтому мы можем сократить \( 7! \):
\[ C_{12}^{5} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8}{5!} \]
Теперь вычислим \( 5! \):
\[ 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \]
Таким образом,
\[ C_{12}^{5} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8}{120} \]
Теперь вычислим числитель:
\[ 12 \times 11 = 132 \] \[ 132 \times 10 = 1320 \] \[ 1320 \times 9 = 11880 \] \[ 11880 \times 8 = 95040 \]
Следовательно,
\[ C_{12}^{5} = \frac{95040}{120} = 792 \]
- Вычисляем \( C_{10}^{3} \):
\[ C_{10}^{3} = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3! \cdot 7!} \]
Аналогично, \( 10! = 10 \times 9 \times 8 \times 7! \), и мы тоже можем сократить \( 7! \):
\[ C_{10}^{3} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3!} \]
Вычислим \( 3! \):
\[ 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 \]
Теперь подставим в формулу:
\[ C_{10}^{3} = \frac{10 \times 9 \times 8}{6} \]
Сначала подсчитаем числитель:
\[ 10 \times 9 = 90 \] \[ 90 \times 8 = 720 \]
Теперь делим:
\[ C_{10}^{3} = \frac{720}{6} = 120 \]
- Теперь подставим значения в выражение:
\[ \frac{C_{12}^{5}}{C_{10}^{3}} = \frac{792}{120} \]
Сократим это дробь:
\[ \frac{792 \div 24}{120 \div 24} = \frac{33}{5} \]
Таким образом, мы получаем окончательный результат:
\[ \frac{C_{12}^{5}}{C_{10}^{3}} = \frac{33}{5} \text{ или } 6.6 \]
Ответ: \(\frac{33}{5} \) или 6.6.
