Вычисли значение выражения: $$\frac{C_{12}^5}{C_{10}^3}$$.

Для решения задачи начнем с определения, что такое биномиальные коэффициенты: Биномиальный коэффициент \( C_{n}^{k} \) (или \(\binom{n}{k}\)) обозначает количество способов выбрать \( k \) объектов из \( n \) без учета порядка. Он вычисляется по формуле: \[ C_{n}^{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] где \( n! \) — это факториал числа \( n \), а \( k! \), \( (n-k)! \) — факториалы \( k \) и \( (n-k) \) соответственно. Теперь мы можем вычислить \( C_{12}^{5} \) и \( C_{10}^{3} \): 1. **Вычисляем \( C_{12}^{5} \)**: \[ C_{12}^{5} = \frac{12!}{5!(12-5)!} = \frac{12!}{5! \cdot 7!} \] Вспомним, что \( 12! = 12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7! \), поэтому мы можем сократить \( 7! \): \[ C_{12}^{5} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8}{5!} \] Теперь вычислим \( 5! \): \[ 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \] Таким образом, \[ C_{12}^{5} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8}{120} \] Теперь вычислим числитель: \[ 12 \times 11 = 132 \] \[ 132 \times 10 = 1320 \] \[ 1320 \times 9 = 11880 \] \[ 11880 \times 8 = 95040 \] Следовательно, \[ C_{12}^{5} = \frac{95040}{120} = 792 \] 2. **Вычисляем \( C_{10}^{3} \)**: \[ C_{10}^{3} = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3! \cdot 7!} \] Аналогично, \( 10! = 10 \times 9 \times 8 \times 7! \), и мы тоже можем сократить \( 7! \): \[ C_{10}^{3} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3!} \] Вычислим \( 3! \): \[ 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 \] Теперь подставим в формулу: \[ C_{10}^{3} = \frac{10 \times 9 \times 8}{6} \] Сначала подсчитаем числитель: \[ 10 \times 9 = 90 \] \[ 90 \times 8 = 720 \] Теперь делим: \[ C_{10}^{3} = \frac{720}{6} = 120 \] 3. **Теперь подставим значения в выражение**: \[ \frac{C_{12}^{5}}{C_{10}^{3}} = \frac{792}{120} \] Сократим это дробь: \[ \frac{792 \div 24}{120 \div 24} = \frac{33}{5} \] Таким образом, мы получаем окончательный результат: \[ \frac{C_{12}^{5}}{C_{10}^{3}} = \frac{33}{5} \text{ или } 6.6 \] **Ответ:** \(\frac{33}{5} \) или 6.6.