Реши задачу

Давай решим задачу.

Условие: В правильной треугольной пирамиде плоский угол при вершине равен \(60^\circ\). Боковое ребро равно 6. Найди площадь полной поверхности пирамиды.

Решение:

1. Определим параметры пирамиды:

   • Пирамида правильная, значит основание — правильный треугольник.
   • Боковое ребро \(AE = 6\).
   • Плоский угол при вершине \(\angle A = 60^\circ\).

2. Найдем сторону основания:

   • Рассмотрим треугольник \(AOE\), где \(O\) — центр основания.
   • \(\angle AOE = 60^\circ\).
   • В треугольнике \(AOE\) сторона \(AO\) противоположна углу \(60^\circ\).
   • Так как \(\triangle AOE\) равнобедренный (\(OA = OE = 6\)), применяем теорему косинусов: \[ OE^2 = OA^2 + AE^2 - 2 \cdot OA \cdot AE \cdot \cos(60^\circ) \] \[ OA = AE \cos(60^\circ) = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3 \]

3. Найдем сторону основания \(a\):

   • Так как \(O\) — центр равностороннего треугольника: \[ a = 2 \cdot AO \cdot \sin(60^\circ) = 2 \cdot 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \]

4. Найдем площадь основания \(S_{осн}\):

   • Правильный треугольник: \[ S_{осн} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot (3\sqrt{3})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 27 = \frac{27\sqrt{3}}{4} \]

5. Найдем площадь боковых граней \(S_{бок}\):

   • Боковая грань — равнобедренный треугольник с основанием \(a = 3\sqrt{3}\) и высотой \(AE\).
   • Площадь одной боковой грани: \[ S_{гр} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h \]
   • Высота \(h\) в треугольнике \(AOE\): \[ h = \sqrt{AE^2 - AO^2} = \sqrt{6^2 - 3^2} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \] \[ S_{гр} = \frac{1}{2} \cdot 3\sqrt{3} \cdot 3\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot 27 = \frac{27}{2} \]

6. Суммарная площадь боковых граней:

   • У пирамиды 3 боковые грани: \[ S_{бок} = 3 \cdot \frac{27}{2} = \frac{81}{2} \]

7. Полная площадь поверхности \(S_{полн}\): \[ S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = \frac{27\sqrt{3}}{4} + \frac{81}{2} \] \[ S_{полн} = \frac{27\sqrt{3} + 162}{4} \]

Таким образом, площадь полной поверхности пирамиды равна \(\frac{27\sqrt{3} + 162}{4}\).