Решите уравнения: а) 3х2 + 5х – 2 =0; б) х2 + 6х =0; в) 2(3х – 5) +7 = 4(1 + 2х). 2) Решите неравенства: а) 3х2 + х +2 > 0; б) х -2 < 3/х; в) 1/х > 1/5

Давайте решим предложенные задачи по шагам.

Часть 1: Уравнения

а) \(3x^2 + 5x - 2 = 0\)

Это квадратное уравнение в стандартной форме. Мы можем использовать формулу для решения квадратных уравнений:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

где \(a = 3\), \(b = 5\), \(c = -2\).

1. Вычислим дискриминант (\(D\)): \[ D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49 \]

2. Находим корни: \[ x = \frac{-5 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{-5 \pm 7}{6} \]

   Здесь мы имеем два случая:

   • \(x_1 = \frac{-5 + 7}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\)
   • \(x_2 = \frac{-5 - 7}{6} = \frac{-12}{6} = -2\)

Таким образом, корни уравнения:
\[ x_1 = \frac{1}{3}, \quad x_2 = -2 \]

б) \(x^2 + 6x = 0\)

Для решения этого уравнения сначала вынесем \(x\) за скобки: \[ x(x + 6) = 0 \]

Получаем два возможных решения:

1. \(x = 0\)
2. \(x + 6 = 0 \Rightarrow x = -6\)

Таким образом, корни уравнения:
\[ x_1 = 0, \quad x_2 = -6 \]

в) \(2(3x – 5) +7 = 4(1 + 2x)\)

1. Раскроем скобки: \[ 6x - 10 + 7 = 4 + 8x \] Упрощаем уравнение: \[ 6x - 3 = 4 + 8x \]

2. Переносим все \(x\) в одну часть: \[ 6x - 8x = 4 + 3 \Rightarrow -2x = 7 \Rightarrow x = -\frac{7}{2} \]

Таким образом, корень уравнения:
\[ x = -\frac{7}{2} \]

Часть 2: Неравенства

а) \(3x^2 + x + 2 > 0\)

Это квадратное неравенство. Сначала найдем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 1 - 24 = -23 \] Так как дискриминант отрицательный, это означает, что парабола не пересекает ось \(x\) и открыта вверх (поскольку \(a > 0\)). Следовательно, неравенство выполняется для всех \(x\): \[ x \in (-\infty; +\infty) \]

б) \(x - 2 < \frac{3}{x}\)

Переносим \(\frac{3}{x}\) влево и приводим к общему знаменателю: \[ x - 2 - \frac{3}{x} < 0 \] Умножим на \(x\) (с учетом знака): \[ x^2 - 2x - 3 < 0 \] Решим квадратное неравенство:

1. Найдем корни уравнения \(x^2 - 2x - 3 = 0\): \[ D = 4 + 12 = 16 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{2 \pm 4}{2} \] Корни: \(x_1 = 3\), \(x_2 = -1\).

2. Строим интервал: \[ (-\infty, -1), (-1, 3), (3, +\infty) \] Знак функции меняется на интервалах, тестируем: на промежутке \((-1, 3)\) неравенство выполняется: \[ x \in (-1, 3) \]

в) \(\frac{1}{x} > \frac{1}{5}\)

Переносим \( \frac{1}{5} \) влево: \[ \frac{1}{x} - \frac{1}{5} > 0 \] Приводим к общему знаменателю: \[ \frac{5 - x}{5x} > 0 \] Здесь \(5 - x > 0\) и \(x > 0\). Таким образом, \(x < 5\). Проверяем, знаки в интервалах \(x < 0; 0 < x < 5; x > 5\): Решение: \[ 0 < x < 5 \]

Итак, итоговое решение:

• Уравнения:
  а) \(x_1 = \frac{1}{3}, \quad x_2 = -2\)
  б) \(x_1 = 0, \quad x_2 = -6\)
  в) \(x = -\frac{7}{2}\)

• Неравенства:
  а) \(x \in (-\infty; +\infty)\)
  б) \(x \in (-1, 3)\)
  в) \(x \in (0, 5)\)