Решите уравнения: а) 3х2 + 5х – 2 =0; б) х2 + 6х =0; в) 2(3х – 5) +7 = 4(1 + 2х). 2) Решите неравенства: а) 3х2 + х +2 > 0; б) х -2 < 3/х; в) 1/х > 1/5
Ответ нейросети
23 марта 2025 08:36
Давайте решим предложенные задачи по шагам.
Часть 1: Уравнения
а) (3x^2 + 5x - 2 = 0)
Это квадратное уравнение в стандартной форме. Мы можем использовать формулу для решения квадратных уравнений:
[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]
где (a = 3), (b = 5), (c = -2).
Вычислим дискриминант ((D)): [ D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49 ]
Находим корни: [ x = \frac{-5 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{-5 \pm 7}{6} ]
Здесь мы имеем два случая:
- (x_1 = \frac{-5 + 7}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3})
- (x_2 = \frac{-5 - 7}{6} = \frac{-12}{6} = -2)
Таким образом, корни уравнения:
[
x_1 = \frac{1}{3}, \quad x_2 = -2
]
б) (x^2 + 6x = 0)
Для решения этого уравнения сначала вынесем (x) за скобки: [ x(x + 6) = 0 ]
Получаем два возможных решения:
- (x = 0)
- (x + 6 = 0 \Rightarrow x = -6)
Таким образом, корни уравнения:
[
x_1 = 0, \quad x_2 = -6
]
в) (2(3x – 5) +7 = 4(1 + 2x))
Раскроем скобки: [ 6x - 10 + 7 = 4 + 8x ] Упрощаем уравнение: [ 6x - 3 = 4 + 8x ]
Переносим все (x) в одну часть: [ 6x - 8x = 4 + 3 \Rightarrow -2x = 7 \Rightarrow x = -\frac{7}{2} ]
Таким образом, корень уравнения:
[
x = -\frac{7}{2}
]
Часть 2: Неравенства
а) (3x^2 + x + 2 > 0)
Это квадратное неравенство. Сначала найдем дискриминант: [ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 1 - 24 = -23 ] Так как дискриминант отрицательный, это означает, что парабола не пересекает ось (x) и открыта вверх (поскольку (a > 0)). Следовательно, неравенство выполняется для всех (x): [ x \in (-\infty; +\infty) ]
б) (x - 2 < \frac{3}{x})
Переносим (\frac{3}{x}) влево и приводим к общему знаменателю: [ x - 2 - \frac{3}{x} < 0 ] Умножим на (x) (с учетом знака): [ x^2 - 2x - 3 < 0 ] Решим квадратное неравенство:
Найдем корни уравнения (x^2 - 2x - 3 = 0): [ D = 4 + 12 = 16 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{2 \pm 4}{2} ] Корни: (x_1 = 3), (x_2 = -1).
Строим интервал: [ (-\infty, -1), (-1, 3), (3, +\infty) ] Знак функции меняется на интервалах, тестируем: на промежутке ((-1, 3)) неравенство выполняется: [ x \in (-1, 3) ]
в) (\frac{1}{x} > \frac{1}{5})
Переносим ( \frac{1}{5} ) влево: [ \frac{1}{x} - \frac{1}{5} > 0 ] Приводим к общему знаменателю: [ \frac{5 - x}{5x} > 0 ] Здесь (5 - x > 0) и (x > 0). Таким образом, (x < 5). Проверяем, знаки в интервалах (x < 0; 0 < x < 5; x > 5): Решение: [ 0 < x < 5 ]
Итак, итоговое решение:
Уравнения:
а) (x_1 = \frac{1}{3}, \quad x_2 = -2)
б) (x_1 = 0, \quad x_2 = -6)
в) (x = -\frac{7}{2})Неравенства:
а) (x \in (-\infty; +\infty))
б) (x \in (-1, 3))
в) (x \in (0, 5))
Понравился ответ?
Задай свой вопрос
Напиши любую задачу или вопрос, а нейросеть её решит
