задание 1 1) 1f -1 4x³ dx 2) п/3 f п/4 ( 4sin x- 2 cos x + 4/ sin²x) dx 3) 3f-2 ( 3x²- 4x +3 ) dx 4) п/4 f п/4 ( 1/ cos²x- sinx) dx 5) 5 f 4 (4-3x)³dx 6)1f-1 x²dx/ 3+2x³ 7) п/24 f…

Конечно! Давайте подробнее разберем каждое задание без сокращений и неформатированных записей.

Задание 1. Интегралы

1. Интеграл: \[ \int (1 - 4x^3) \, dx \]
   Решение:
   Интегрируем каждый член отдельно.

   • Интеграл от \(1\) равен \(x\).
   • Интеграл от \(-4x^3\) равен \(-\frac{4}{4} x^4 = -x^4\).

   Таким образом, результат: \[ \int (1 - 4x^3) \, dx = x - x^4 + C, \] где \(C\) — константа интегрирования.

2. Интеграл: \[ \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{4}} (4\sin x - 2\cos x + \frac{4}{\sin^2 x}) \, dx \]
   Решение:
   Это определенный интеграл. Мы будем находить интеграл функции в указанных пределах.

   • Интеграл от \(4\sin x\) равен \(-4\cos x\).
   • Интеграл от \(-2\cos x\) равен \(-2\sin x\).
   • Интеграл от \(\frac{4}{\sin^2 x}\) равен \(-4\cot x\) (вспомните, что \( \frac{1}{\sin^2 x} = \csc^2 x\), интеграл которого равен \(-\cot x\)).

   Объединив эти результаты, мы получаем: \[ \int (4\sin x - 2\cos x + \frac{4}{\sin^2 x}) \, dx = -4\cos x - 2\sin x - 4\cot x + C. \] Теперь подставляем пределы от \(\frac{\pi}{3}\) до \(\frac{\pi}{4}\) и вычисляем значение.

3. Интеграл: \[ \int (3x^2 - 4x + 3) \, dx \]
   Решение:
   Интегрируем по каждому компоненту:

   • Интеграл от \(3x^2\) равен \(x^3\).
   • Интеграл от \(-4x\) равен \(-2x^2\).
   • Интеграл от \(3\) равен \(3x\).

   Таким образом, окончательный результат: \[ \int (3x^2 - 4x + 3) \, dx = x^3 - 2x^2 + 3x + C. \]

4. Интеграл: \[ \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \left(\frac{1}{\cos^2 x} - \sin x\right) \, dx \]
   Решение:
   В этом случае пределы интегрирования одинаковые (\(\frac{\pi}{4}\) и \(\frac{\pi}{4}\)), поэтому значение интеграла равно 0, поскольку площадь под графиком обнуляется.

5. Интеграл: \[ \int_4^5 (4 - 3x)^3 \, dx \]
   Решение:
   Сначала раскроем куб: \[ (4 - 3x)^3 = 64 - 3 \cdot 4^2 \cdot (3x) + 3 \cdot (3x)^2 \cdot 4 - (3x)^3. \] Это упростит вычисления. Затем интегрируем полученное выражение и подставляем пределы \(x = 4\) и \(x = 5\).

6. Интеграл: \[ \int \frac{x^2}{3 + 2x^3} \, dx \]
   Решение:
   Этот интеграл можно решить методом подбора. Давайте сделаем замену: \[ u = 3 + 2x^3 \implies du = 6x^2 dx \implies \frac{1}{6} du = x^2 dx. \] Теперь заменим \(x^2 dx\) в интеграле на \(\frac{1}{6} du\): \[ \int \frac{x^2}{3 + 2x^3} \, dx = \frac{1}{6} \int \frac{1}{u} \, du = \frac{1}{6} \ln |u| + C = \frac{1}{6} \ln |3 + 2x^3| + C. \]

7. Интеграл: \[ \frac{1}{24} \int_0^{\frac{\pi}{3}} (4x) \, dx \]
   Решение:
   Интегрируем функцию \(4x\):
   • Получаем: \(\int 4x \, dx = 2x^2\).
   • Подставим пределы от \(0\) до \(\frac{\pi}{3}\): \[ 2\left(\frac{\pi}{3}\right)^2 - 2(0) = 2 \cdot \frac{\pi^2}{9} = \frac{2\pi^2}{9}. \] Затем умножаем результат на \(\frac{1}{24}\): \[ \text{Результат} = \frac{2\pi^2}{9} \cdot \frac{1}{24} = \frac{2\pi^2}{216} = \frac{\pi^2}{108}. \]

Задание 2. Площадь фигуры, ограниченной графиками функций

a) Функция: \(y = 4x^3\), пределы \(x = 1\) и \(x = 2\).
Площадь \(P\) равна: \[ P = \int_1^2 4x^3 \, dx. \] Интегрируем: \[ P = \left[x^4\right]_1^2 = 2^4 - 1^4 = 16 - 1 = 15. \]

б) Функция: \(y = x^3\), пределы \(x = 0\) и \(x = 2\).
Площадь \(P\): \[ P = \int_0^2 x^3 \, dx. \] Интегрируем: \[ P = \left[\frac{x^4}{4}\right]_0^2 = \frac{2^4}{4} - 0 = \frac{16}{4} = 4. \]

в) Функция: \(y = \cos x\), пределы \(x = 0\) и \(x = \frac{\pi}{2}\).
Площадь \(P\): \[ P = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos x \, dx. \] Интегрируем: \[ P = \left[\sin x\right]_0^{\frac{\pi}{2}} = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) - \sin(0) = 1 - 0 = 1. \]

г) Функция: \(y = x^2 + 1\) без указанных границ. Предположим, мы хотим вычислить от \(x = 0\) до \(x = a\): Площадь \(P\): \[ P = \int_0^a (x^2 + 1) \, dx. \] Интегрируем: \[ P = \left[\frac{x^3}{3} + x\right]_0^a = \left(\frac{a^3}{3} + a\right) - (0) = \frac{a^3}{3} + a. \]

Если у вас есть дополнительные вопросы или нужны пояснения по какому-либо из пунктов, не стесняйтесь спрашивать!