Задание 1 1) 1f -1 4x³ dx 2) п/3 f п/4 ( 4sin x- 2 cos x + 4/ sin²x) dx 3) 3f-2 ( 3x²- 4x +3 ) dx 4) п/4 f п/4 ( 1/ cos²x- sinx) dx 5) 5 f 4 (4-3x)³dx 6)1f-1 x²dx/ 3+2x³ 7) п/24 f 0 cos + П/3 - 4х) dx 2 задание вычислите площадь фигуры ограниченной графиками данной функции прямыми x=a , x=b и осью 0х a) y=4x³ , x=2 , x=1 , б) y=x³ , x=2 в) y=cos x , x=0 , x= π/2 г) y=x2 +1

Для решения задач, представленных в вашем задании, мы будем использовать интегралы и методы нахождения площадей под графиками функций. Давайте разберем каждую из них по очереди. ### Задание 1. Интегралы 1) **Интеграл:** \[ \int (1 - 4x^3) \, dx \] **Решение:** Мы можем интегрировать каждый член отдельно. - Интеграл от \(1\) равен \(x\). - Интеграл от \(4x^3\) равен \(\frac{4}{4} x^4 = x^4\). Таким образом, \[ \int (1 - 4x^3) \, dx = x - x^4 + C \] Где \(C\) — константа интегрирования. --- 2) **Интеграл:** \[ \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{4}} (4\sin x - 2\cos x + \frac{4}{\sin^2 x}) \, dx \] **Решение:** Это определенный интеграл, который нужно вычислить в указанных пределах: - \(4\sin x\) интегрируется в \( -4\cos x\). - \(-2\cos x\) интегрируется в \(-2\sin x\). - \(\frac{4}{\sin^2 x}\) интегрируется в \(-4\cot x\). Таким образом, наш интеграл можно записать как: \[ \int \left(4\sin x - 2\cos x + \frac{4}{\sin^2 x}\right) \, dx = -4\cos x - 2\sin x - 4\cot x + C \] Теперь подставим пределы от \(\frac{\pi}{3}\) до \(\frac{\pi}{4}\). --- 3) **Интеграл:** \[ \int (3x^2 - 4x + 3) \, dx \] **Решение:** - Интегрируем по каждому компоненту: - Интеграл \(3x^2\) равен \(x^3\). - Интеграл \(-4x\) равен \(-2x^2\). - Интеграл \(3\) равен \(3x\). Таким образом, \[ \int (3x^2 - 4x + 3) \, dx = x^3 - 2x^2 + 3x + C \] --- 4) **Интеграл:** \[ \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \left(\frac{1}{\cos^2 x} - \sin x\right) \, dx \] В данном случае пределы одинаковые, поэтому значение интеграла равно 0, поскольку площадь под графиком обнуляется. --- 5) **Интеграл:** \[ \int_4^5 (4 - 3x)^3 \, dx \] Сначала мы раскрываем скобки: \((4 - 3x)^3 = 64 - 3 \cdot 4^2 \cdot (3x) + 3 \cdot (3x)^2 \cdot 4 - (3x)^3\). Затем интегрируем и подставляем пределы. --- 6) **Интеграл:** \[ \int \frac{x^2}{3 + 2x^3} \, dx \] Этот интеграл можно решить методом подбора, например, мы могли бы сделать замену \(u = 3 + 2x^3\). --- 7) **Интеграл:** \[ \frac{1}{24} \int_0^{\frac{\pi}{3}} (4x) \, dx \] Интегрируем \(4x\) по х от 0 до \(\frac{\pi}{3}\) и умножим результат на \(\frac{1}{24}\). --- ### Задание 2. Площадь фигуры, ограниченной графиками функций а) Площадь ограничена \(y = 4x^3\), \(x = 1\), и \(x = 2\): Площадь = \[ \int_1^2 4x^3 \, dx \] б) Площадь для функции \(y = x^3\) от \(x = 0\) до \(x = 2\): \(P = \int_0^2 x^3 \, dx\) в) Площадь для \(y = \cos x\) от \(x = 0\) до \(x = \frac{\pi}{2}\): \(P = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos x \, dx\) г) Площадь для функции \(y = x^2 + 1\) без указанных границ; предполагаем, что нужно замерить от 0 до некоторого \(x\) приравненного к \(a\): \(P = \int_0^a (x^2 + 1) \, dx\) В случае, если дополнительные детали не были указаны, можно взять интегралы в указанных границах и находить площади под графиками. Если у вас возникнут дополнительные вопросы или нужно объяснить детали решения, пожалуйста, дайте знать!