Дан куб ABCDA1B1C1D1.Найдите угол между прямыми A1D и CC1

Чтобы найти угол между прямыми A1D и CC1 в заданном кубе ABCDA1B1C1D1, давайте начнем с определения координат вершин куба и затем воспользуемся векторной алгеброй. ### Шаг 1: Определение координат вершин куба Предположим, что куб имеет сторону длиной единица и расположен в трехмерной системе координат, тогда координаты вершин будут следующими: - A (0, 0, 0) - B (1, 0, 0) - C (1, 1, 0) - D (0, 1, 0) - A1 (0, 0, 1) - B1 (1, 0, 1) - C1 (1, 1, 1) - D1 (0, 1, 1) ### Шаг 2: Определение векторов Теперь найдем векторы, соответствующие прямым A1D и CC1. - Вектор A1D: - A1: (0, 0, 1) - D: (0, 1, 0) Вектор A1D = D - A1 = (0 - 0, 1 - 0, 0 - 1) = (0, 1, -1) - Вектор CC1: - C: (1, 1, 0) - C1: (1, 1, 1) Вектор CC1 = C1 - C = (1 - 1, 1 - 1, 1 - 0) = (0, 0, 1) ### Шаг 3: Нахождение угла между векторами Чтобы найти угол между двумя векторами, мы можем воспользоваться формулой: \[ \cos(\theta) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} \] где \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) - это наши векторы, а \( \cdot \) обозначает скалярное произведение. 1. **Скалярное произведение векторов A1D и CC1**: \[ \vec{A1D} \cdot \vec{CC1} = (0, 1, -1) \cdot (0, 0, 1) = 0 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + (-1) \cdot 1 = -1 \] 2. **Длина векторов A1D и CC1**: \[ |\vec{A1D}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{0 + 1 + 1} = \sqrt{2} \] \[ |\vec{CC1}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{1} = 1 \] 3. **Подстановка в формулу**: \[ \cos(\theta) = \frac{-1}{\sqrt{2} \cdot 1} = \frac{-1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \] ### Шаг 4: Нахождение угла θ Теперь найдем угол θ: \[ \theta = \cos^{-1}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \] Из таблицы косинусов знаем, что: \[ \theta = 135^\circ \] ### Ответ Угол между прямыми A1D и CC1 равен \( 135^\circ \).