Найдите все значения, которые может принимать знаменатель геометрической прогрессии (сп), если с5 = 6, с8 = 48.
Решим задачу по нахождению значений, которые может принимать знаменатель геометрической прогрессии (гп).
Даем условие:
- \( c_5 = 6 \) (пятый член прогрессии)
- \( c_8 = 48 \) (восьмой член прогрессии)
Шаг 1: Используем формулу для членов геометрической прогрессии.
В общем виде n-ый член геометрической прогрессии можно выразить через первый член и знаменатель прогрессии \( q \): \[ c_n = c_1 \cdot q^{n-1} \]
Тогда для наших конкретных членов мы можем записать:
Для \( c_5 \): \[ c_5 = c_1 \cdot q^{5-1} = c_1 \cdot q^4 = 6 \] (1)
Для \( c_8 \): \[ c_8 = c_1 \cdot q^{8-1} = c_1 \cdot q^7 = 48 \] (2)
Шаг 2: Поделим уравнение (2) на уравнение (1).
Таким образом, мы можем избавитьcя от \( c_1 \): \[ \frac{c_1 \cdot q^7}{c_1 \cdot q^4} = \frac{48}{6} \]
Сократим \( c_1 \) и упростим: \[ q^{7-4} = \frac{48}{6} \] \[ q^3 = 8 \]
Шаг 3: Найдем \( q \).
Теперь возьмем корень кубический: \[ q = 8^{1/3} = 2 \]
Шаг 4: Проверим решение.
Подставим \( q = 2 \) обратно в формулы (1) и (2), чтобы найти \( c_1 \).
Подставляем в (1): \[ c_1 \cdot 2^4 = 6 \\ c_1 \cdot 16 = 6 \\ c_1 = \frac{6}{16} = \frac{3}{8} \]
Проверяем в (2): \[ c_1 \cdot 2^7 = 48 \\ \frac{3}{8} \cdot 128 = 48 \\ 48 = 48 \quad \text{(верно)} \]
Шаг 5: Вывод.
Знаменатель геометрической прогрессии может принимать значение: \[ q = 2 \]
Таким образом, ответ на задачу: знаменатель геометрической прогрессии \( q \) равен 2.
