Решим задачу по нахождению значений, которые может принимать знаменатель геометрической прогрессии (гп).
Даем условие:
- ( c_5 = 6 ) (пятый член прогрессии)
- ( c_8 = 48 ) (восьмой член прогрессии)
Шаг 1: Используем формулу для членов геометрической прогрессии.
В общем виде n-ый член геометрической прогрессии можно выразить через первый член и знаменатель прогрессии ( q ):
[ c_n = c_1 \cdot q^{n-1} ]
Тогда для наших конкретных членов мы можем записать:
Для ( c_5 ):
[ c_5 = c_1 \cdot q^{5-1} = c_1 \cdot q^4 = 6 ]
(1)
Для ( c_8 ):
[ c_8 = c_1 \cdot q^{8-1} = c_1 \cdot q^7 = 48 ]
(2)
Шаг 2: Поделим уравнение (2) на уравнение (1).
Таким образом, мы можем избавитьcя от ( c_1 ):
[
\frac{c_1 \cdot q^7}{c_1 \cdot q^4} = \frac{48}{6}
]
Сократим ( c_1 ) и упростим:
[
q^{7-4} = \frac{48}{6}
]
[
q^3 = 8
]
Шаг 3: Найдем ( q ).
Теперь возьмем корень кубический:
[
q = 8^{1/3} = 2
]
Шаг 4: Проверим решение.
Подставим ( q = 2 ) обратно в формулы (1) и (2), чтобы найти ( c_1 ).
Подставляем в (1):
[
c_1 \cdot 2^4 = 6 \
c_1 \cdot 16 = 6 \
c_1 = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}
]
Проверяем в (2):
[
c_1 \cdot 2^7 = 48 \
\frac{3}{8} \cdot 128 = 48 \
48 = 48 \quad \text{(верно)}
]
Шаг 5: Вывод.
Знаменатель геометрической прогрессии может принимать значение:
[
q = 2
]
Таким образом, ответ на задачу: знаменатель геометрической прогрессии ( q ) равен 2.
