Реши эту задачу

Давайте разберем каждую задачу по порядку.

1. Вычислить интегралы:

1) \(\int x^3 \, dx\)

Чтобы решить этот интеграл, нужно воспользоваться правилом интегрирования степенной функции:

\[ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \]

Где \( n \neq -1 \).

Для \( x^3 \):

• \( n = 3 \)
• \(\int x^3 \, dx = \frac{x^{3+1}}{3+1} + C = \frac{x^4}{4} + C\)

2) \(\int \sin x \, dx\)

Интеграл от синуса:

\[ \int \sin x \, dx = -\cos x + C \]

Таким образом:

• \(\int \sin x \, dx = -\cos x + C\)

2. За какой формулой можно найти площадь фигуры, изображенной на мал. 7?

На рисунке 7 показан график функций \( y = g(x) \) и \( y = f(x) \) на промежутке от \( x = a \) до \( x = b \). Площадь между двумя кривыми можно найти по формуле:

\[ \text{Площадь} = \int_{a}^{b} (g(x) - f(x)) \, dx \]

Необходимо убедиться, какая кривая находится выше на каждом отрезке, чтобы определить правильный порядок \( g(x) - f(x) \).

3. Найдите площадь заштрихованной на рисунке 8 фигуры.

На рисунке изображен прямоугольный треугольник с осями, и для нахождения его площади используется стандартная формула площади треугольника:

\[ \text{Площадь} = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота} \]

С основы рисунка:

• Основание — это отрезок по оси \( x \), длина которого равна 4 (от 0 до 4).
• Высота — это отрезок по оси \( y \), длина которого равна 4 (от 0 до 4).

Подставляем значения в формулу:

\[ \text{Площадь} = \frac{1}{2} \times 4 \times 4 = 8 \]

Таким образом, площадь заштрихованной фигуры равна 8 квадратных единиц.