Чтобы решить задачу, давайте обозначим ширину прямоугольного участка земли как ( x ) метров. Поскольку длина на 8 метров больше ширины, можем записать длину как ( x + 8 ) метров.
Шаг 1: Запишем площадь исходного участка
Площадь прямоугольника вычисляется как произведение длины на ширину. Исходя из наших обозначений, площадь будет:
[
S_1 = x \cdot (x + 8) = x^2 + 8x.
]
Шаг 2: Условие после изменения размеров
Если длину уменьшить на 5 метров, а ширину увеличить на 5 метров, новые размеры будут:
- Длина: ( (x + 8 - 5) = x + 3 ) метров.
- Ширина: ( (x + 5) ) метров.
Новая площадь будет:
[
S_2 = (x + 3)(x + 5).
]
Шаг 3: Выразим новую площадь
Вычислим новый участок:
[
S_2 = (x + 3)(x + 5) = x^2 + 5x + 3x + 15 = x^2 + 8x + 15.
]
Шаг 4: Использование условия задачи
По условиям задачи, площадь нового участка является в 2 раза меньше площади исходного, увеличенной на 78 м²:
[
S_2 = \frac{1}{2}(S_1 + 78).
]
Подставим выражения для площадей:
[
x^2 + 8x + 15 = \frac{1}{2}(x^2 + 8x + 78).
]
Шаг 5: Упрощение уравнения
Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дробей:
[
2(x^2 + 8x + 15) = x^2 + 8x + 78.
]
Раскроем скобки:
[
2x^2 + 16x + 30 = x^2 + 8x + 78.
]
Переносим все на одну сторону уравнения:
[
2x^2 + 16x + 30 - x^2 - 8x - 78 = 0.
]
Соберем подобные:
[
x^2 + 8x - 48 = 0.
]
Шаг 6: Решение квадратного уравнения
Теперь решим квадратное уравнение ( x^2 + 8x - 48 = 0 ) с помощью формулы дискриминанта:
[
D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-48) = 64 + 192 = 256.
]
Корни:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 \pm 16}{2}.
]
Решения:
- ( x = \frac{8}{2} = 4 )
- ( x = \frac{-24}{2} = -12 ) (отрицательная ширина не имеет смысла).
Таким образом, ширина ( x = 4 ) м.
Шаг 7: Нахождение длины
Теперь можем найти длину:
[
L = x + 8 = 4 + 8 = 12 \text{ м.}
]
Ответ
Длина данного участка земли равна 12 метров.
