длина прямоугольного участка земли на 8 м больше его ширины.если бы его длину уменьшили на 5 м,а ширину увеличили на 5м,то площадь получившегося участка стала в 2 раза меньше,чем…
Длина прямоугольного участка земли на 8 м больше его ширины.если бы его длину уменьшили на 5 м,а ширину увеличили на 5м,то площадь получившегося участка стала в 2 раза меньше,чем площадь исходного,увеличенная на 78 м².чему равна длине этого учатск земли
Чтобы решить задачу, давайте обозначим ширину прямоугольного участка земли как \( x \) метров. Поскольку длина на 8 метров больше ширины, можем записать длину как \( x + 8 \) метров.
Шаг 1: Запишем площадь исходного участка
Площадь прямоугольника вычисляется как произведение длины на ширину. Исходя из наших обозначений, площадь будет: \[ S_1 = x \cdot (x + 8) = x^2 + 8x. \]
Шаг 2: Условие после изменения размеров
Если длину уменьшить на 5 метров, а ширину увеличить на 5 метров, новые размеры будут:
- Длина: \( (x + 8 - 5) = x + 3 \) метров.
- Ширина: \( (x + 5) \) метров.
Новая площадь будет: \[ S_2 = (x + 3)(x + 5). \]
Шаг 3: Выразим новую площадь
Вычислим новый участок: \[ S_2 = (x + 3)(x + 5) = x^2 + 5x + 3x + 15 = x^2 + 8x + 15. \]
Шаг 4: Использование условия задачи
По условиям задачи, площадь нового участка является в 2 раза меньше площади исходного, увеличенной на 78 м²: \[ S_2 = \frac{1}{2}(S_1 + 78). \]
Подставим выражения для площадей: \[ x^2 + 8x + 15 = \frac{1}{2}(x^2 + 8x + 78). \]
Шаг 5: Упрощение уравнения
Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дробей: \[ 2(x^2 + 8x + 15) = x^2 + 8x + 78. \] Раскроем скобки: \[ 2x^2 + 16x + 30 = x^2 + 8x + 78. \] Переносим все на одну сторону уравнения: \[ 2x^2 + 16x + 30 - x^2 - 8x - 78 = 0. \] Соберем подобные: \[ x^2 + 8x - 48 = 0. \]
Шаг 6: Решение квадратного уравнения
Теперь решим квадратное уравнение \( x^2 + 8x - 48 = 0 \) с помощью формулы дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-48) = 64 + 192 = 256. \]
Корни: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 \pm 16}{2}. \]
Решения:
- \( x = \frac{8}{2} = 4 \)
- \( x = \frac{-24}{2} = -12 \) (отрицательная ширина не имеет смысла).
Таким образом, ширина \( x = 4 \) м.
Шаг 7: Нахождение длины
Теперь можем найти длину: \[ L = x + 8 = 4 + 8 = 12 \text{ м.} \]
Ответ
Длина данного участка земли равна 12 метров.
