252. В сообщающиеся сосуды, площади поперечного сечения которых относятся как 1:2, налита вода. В уз- кий сосуд поверх воды долили столб керосина высотой 30 см. На сколько…

Давайте решим задачу по заданным параметрам и объясним все шаги.

Условие задачи:

В сообщающиеся сосуды, площади поперечного сечения которых принадлежат отношению 1:2, налита вода. В узкий сосуд поверх воды долили столб керосина высотой 30 см. Нам нужно найти, на сколько сантиметров повысится уровень воды в широком сосуде.

Шаг 1: Определим обозначения

Пусть:

• \( S_1 \) — площадь поперечного сечения узкого сосуда.
• \( S_2 \) — площадь поперечного сечения широкого сосуда. Согласно условию задачи, отношение площадей: \( S_1:S_2 = 1:2 \). Это значит, что \( S_2 = 2S_1 \).

Шаг 2: Найдем объем керосина

Объем столба керосина можно обозначить как \( V_k \). Он равен произведению площади поперечного сечения узкого сосуда на высоту столба керосина: \[ V_k = S_1 \times h_k = S_1 \times 30 \text{ см} \]

Шаг 3: Рассчитаем, на сколько повысится уровень воды в узком сосуде

Когда мы добавляем керосин в узкий сосуд, он выталкивает воду, и уровень воды в узком сосуде поднимается. Поскольку объем керосина равен объему, на который поднимется уровень воды в узком сосуде, мы можем записать: \[ V_{w_1} = S_1 \times h_{w_1} \] где \( h_{w_1} \) — высота, на которую поднимется уровень воды в узком сосуде.

Шаг 4: Установим равенство объемов

Поскольку объем керосина равен объему, вытесненному водой в узком сосуде, получаем: \[ S_1 \times 30 = S_1 \times h_{w_1} \] Поскольку \( S_1 \) не равен нулю, можем сократить его: \[ 30 = h_{w_1} \] Таким образом, уровень воды в узком сосуде поднимается на 30 см.

Шаг 5: Разберёмся, как поднимется уровень воды в широком сосуде

Когда уровень воды поднимается в узком сосуде, он также должен подняться в широком сосуде из-за их сообщающихся стенок.

Объем вытолкнутой воды в узком сосуде равен: \[ V_{w_1} = S_1 \times 30 \] Этот объем равен тому объему, на который поднимется уровень воды в широком сосуде: \[ V_{w_2} = S_2 \times h_{w_2} \] где \( h_{w_2} \) — высота, на которую поднимется уровень воды в широком сосуде.

Шаг 6: Установим равенство объемов между сосудами

Так как \( S_2 = 2S_1 \), можем записать: \[ S_1 \times 30 = 2S_1 \times h_{w_2} \] Сократим \( S_1 \): \[ 30 = 2h_{w_2} \] Теперь разделим обе стороны на 2: \[ h_{w_2} = 15 \text{ см} \]

Ответ

Таким образом, уровень воды в широком сосуде поднимется на 15 см.