Давайте решим задачу по заданным параметрам и объясним все шаги.
Условие задачи:
В сообщающиеся сосуды, площади поперечного сечения которых принадлежат отношению 1:2, налита вода. В узкий сосуд поверх воды долили столб керосина высотой 30 см. Нам нужно найти, на сколько сантиметров повысится уровень воды в широком сосуде.
Шаг 1: Определим обозначения
Пусть:
- ( S_1 ) — площадь поперечного сечения узкого сосуда.
- ( S_2 ) — площадь поперечного сечения широкого сосуда.
Согласно условию задачи, отношение площадей: ( S_1:S_2 = 1:2 ).
Это значит, что ( S_2 = 2S_1 ).
Шаг 2: Найдем объем керосина
Объем столба керосина можно обозначить как ( V_k ). Он равен произведению площади поперечного сечения узкого сосуда на высоту столба керосина:
[
V_k = S_1 \times h_k = S_1 \times 30 \text{ см}
]
Шаг 3: Рассчитаем, на сколько повысится уровень воды в узком сосуде
Когда мы добавляем керосин в узкий сосуд, он выталкивает воду, и уровень воды в узком сосуде поднимается. Поскольку объем керосина равен объему, на который поднимется уровень воды в узком сосуде, мы можем записать:
[
V_{w_1} = S_1 \times h_{w_1}
]
где ( h_{w_1} ) — высота, на которую поднимется уровень воды в узком сосуде.
Шаг 4: Установим равенство объемов
Поскольку объем керосина равен объему, вытесненному водой в узком сосуде, получаем:
[
S_1 \times 30 = S_1 \times h_{w_1}
]
Поскольку ( S_1 ) не равен нулю, можем сократить его:
[
30 = h_{w_1}
]
Таким образом, уровень воды в узком сосуде поднимается на 30 см.
Шаг 5: Разберёмся, как поднимется уровень воды в широком сосуде
Когда уровень воды поднимается в узком сосуде, он также должен подняться в широком сосуде из-за их сообщающихся стенок.
Объем вытолкнутой воды в узком сосуде равен:
[
V_{w_1} = S_1 \times 30
]
Этот объем равен тому объему, на который поднимется уровень воды в широком сосуде:
[
V_{w_2} = S_2 \times h_{w_2}
]
где ( h_{w_2} ) — высота, на которую поднимется уровень воды в широком сосуде.
Шаг 6: Установим равенство объемов между сосудами
Так как ( S_2 = 2S_1 ), можем записать:
[
S_1 \times 30 = 2S_1 \times h_{w_2}
]
Сократим ( S_1 ):
[
30 = 2h_{w_2}
]
Теперь разделим обе стороны на 2:
[
h_{w_2} = 15 \text{ см}
]
Ответ
Таким образом, уровень воды в широком сосуде поднимется на 15 см.
