Катер прошел по течению реки 72 км, повернув обратно, он прошёл еще 54 км, затратив на весь путь 9 часов. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки равна 5…

Для решения задачи нам необходимо определить собственную скорость катера, используя данные о расстоянии, времени и скорости течения реки.

Шаг 1: Обозначим величины

• Пусть \( v \) — собственная скорость катера (в км/ч).
• Скорость течения реки равна 5 км/ч.
• Чтобы найти скорость движения катера по течению, мы складываем собственную скорость и скорость течения: \( v + 5 \) км/ч.
• Скорость против течения: \( v - 5 \) км/ч.

Шаг 2: Рассчитаем время в пути

1. По течению реки:
   Расстояние: 72 км.
   Скорость: \( v + 5 \) км/ч.
   Время в пути по течению:
   \[ t_1 = \frac{72}{v + 5} \]

2. Против течения реки:
   Расстояние: 54 км.
   Скорость: \( v - 5 \) км/ч.
   Время в пути против течения:
   \[ t_2 = \frac{54}{v - 5} \]

Шаг 3: Составим уравнение для общего времени

По условию задачи, общее время в пути составило 9 часов. Таким образом, получаем уравнение: \[ t_1 + t_2 = 9 \] Подставим выражения для \( t_1 \) и \( t_2 \): \[ \frac{72}{v + 5} + \frac{54}{v - 5} = 9 \]

Шаг 4: Упростим уравнение

Умножим всё уравнение на общее произведение знаменателей \( (v + 5)(v - 5) \): \[ 72(v - 5) + 54(v + 5) = 9(v + 5)(v - 5) \] Раскроем скобки: \[ 72v - 360 + 54v + 270 = 9(v^2 - 25) \] Соберем все члены с переменной \( v \) и приведем подобные: \[ 126v - 90 = 9v^2 - 225 \] Переносим все в одну часть уравнения: \[ 9v^2 - 126v - 135 = 0 \]

Шаг 5: Решим квадратное уравнение

Для решения этого уравнения можем использовать дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-126)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-135) = 15876 + 4860 = 20736 \]

Теперь находим корни уравнения с помощью формулы: \[ v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{126 \pm \sqrt{20736}}{18} \] Вычислим \( \sqrt{20736} = 144 \): \[ v = \frac{126 \pm 144}{18} \]

Таким образом, у нас будет два возможных значения для \( v \):

1. \( v_1 = \frac{270}{18} = 15 \)
2. \( v_2 = \frac{-18}{18} = -1 \) (это не имеет смысла в данном контексте, так как скорость не может быть отрицательной)

Шаг 6: Ответ

Собственная скорость катера: \[ \boxed{15} \text{ км/ч} \]