14. В амфитеатре  15 15 рядов, причём в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В третьем ряду  12 12 мест, а в шестом ряду  24 24 места. Сколько мест в последнем ряду амфитеатра?

Решим задачу шаг за шагом. 1. **Понимание условия задачи:** У нас есть амфитеатр с 15 рядами. Из условия известно, что: - В 3-м ряду 12 мест. - В 6-м ряду 24 места. Также сказано, что в каждом следующем ряду количество мест увеличивается на одно и то же число (обозначим его, например, как \(d\)). 2. **Определение количества мест в рядах:** Давайте обозначим количество мест в \(n\)-том ряду как \(a_n\). Тогда мы можем записать: - \(a_3 = 12\) - \(a_6 = 24\) Поскольку количество мест увеличивается на постоянное значение для каждого следующего ряда, можем записать следующие уравнения: \[ a_3 = a_1 + 2d \quad (1) \] \[ a_6 = a_1 + 5d \quad (2) \] 3. **Составим систему уравнений:** Подставим известные значения в уравнения: \[ a_1 + 2d = 12 \quad (1) \] \[ a_1 + 5d = 24 \quad (2) \] 4. **Решим систему уравнений:** Из уравнения (1) выразим \(a_1\): \[ a_1 = 12 - 2d \quad (3) \] Подставим (3) в (2): \[ 12 - 2d + 5d = 24 \] Упростим это уравнение: \[ 12 + 3d = 24 \] \[ 3d = 12 \] \[ d = 4 \] 5. **Теперь найдем \(a_1\):** Подставим значение \(d\) в уравнение (3): \[ a_1 = 12 - 2 \cdot 4 = 12 - 8 = 4 \] 6. **Вычислим количество мест в любом \(n\)-ом ряду:** Мы можем теперь записать формулу для количества мест в любом ряду: \[ a_n = a_1 + (n-1)d \] Подставим найденные значения: \[ a_n = 4 + (n-1) \cdot 4 \] Упрощая, получим: \[ a_n = 4n \] 7. **Найдем количество мест в последнем, 15-м ряду:** Подставим \(n = 15\): \[ a_{15} = 4 \cdot 15 = 60 \] Таким образом, в последнем, 15-м ряду амфитеатра **60 мест**.