14. В амфитеатре 15 15 рядов, причём в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В третьем ряду 12 12 мест, а в шестом ряду 24 24 места. Сколько…

Решим задачу шаг за шагом.

1. Понимание условия задачи: У нас есть амфитеатр с 15 рядами. Из условия известно, что:

   • В 3-м ряду 12 мест.
   • В 6-м ряду 24 места. Также сказано, что в каждом следующем ряду количество мест увеличивается на одно и то же число (обозначим его, например, как \(d\)).

2. Определение количества мест в рядах: Давайте обозначим количество мест в \(n\)-том ряду как \(a_n\). Тогда мы можем записать:

   • \(a_3 = 12\)
   • \(a_6 = 24\)

   Поскольку количество мест увеличивается на постоянное значение для каждого следующего ряда, можем записать следующие уравнения: \[ a_3 = a_1 + 2d \quad (1) \] \[ a_6 = a_1 + 5d \quad (2) \]

3. Составим систему уравнений: Подставим известные значения в уравнения: \[ a_1 + 2d = 12 \quad (1) \] \[ a_1 + 5d = 24 \quad (2) \]

4. Решим систему уравнений: Из уравнения (1) выразим \(a_1\): \[ a_1 = 12 - 2d \quad (3) \]

   Подставим (3) в (2): \[ 12 - 2d + 5d = 24 \] Упростим это уравнение: \[ 12 + 3d = 24 \] \[ 3d = 12 \] \[ d = 4 \]

5. Теперь найдем \(a_1\): Подставим значение \(d\) в уравнение (3): \[ a_1 = 12 - 2 \cdot 4 = 12 - 8 = 4 \]

6. Вычислим количество мест в любом \(n\)-ом ряду: Мы можем теперь записать формулу для количества мест в любом ряду: \[ a_n = a_1 + (n-1)d \] Подставим найденные значения: \[ a_n = 4 + (n-1) \cdot 4 \] Упрощая, получим: \[ a_n = 4n \]

7. Найдем количество мест в последнем, 15-м ряду: Подставим \(n = 15\): \[ a_{15} = 4 \cdot 15 = 60 \]

Таким образом, в последнем, 15-м ряду амфитеатра 60 мест.