1. постройте график функции: a) у = - 3x; б) у = 2x - 1. является ли функция возрастающей (убывающей) на множестве R? 2. постройте график функции: a) y= - 2x2; б) у = (x + 2)2 -…

Давайте поэтапно разберём обе задачи, подробно объясняя каждое действие.

Задача 1: Линейные функции

1. Функция \( y = -3x \)

   График:

   • Это линейная функция с угловым коэффициентом \( -3 \).
   • Угловой коэффициент определяет, насколько крутой будет наклон линии: если он отрицательный, линия будет убывать.
   • Пересечение с осью Y (когда \( x = 0 \)): \( y = -3(0) = 0 \). Таким образом, точка пересечения — (0, 0).
   • Для построения графика выберем ещё несколько значений \( x \):
     • Если \( x = 1 \), то \( y = -3(1) = -3 \) (точка (1, -3)).
     • Если \( x = -1 \), то \( y = -3(-1) = 3 \) (точка (-1, 3)).
   • Соединив эти точки, получим наклонную линию, убывающую от левого верхнего угла к правому нижнему.

   Анализ возрастания/убывания:

   • Так как угловой коэффициент \( -3 < 0 \), функция убывает на всем множестве \( \mathbb{R} \).

2. Функция \( y = 2x - 1 \)

   График:

   • Это также линейная функция, но с угловым коэффициентом \( 2 \) (положительный).
   • Пересечение с осью Y: \( y = 2(0) - 1 = -1 \) (точка (0, -1)).
   • Подбор дополнительных точек:
     • Если \( x = 1 \), \( y = 2(1) - 1 = 1 \) (точка (1, 1)).
     • Если \( x = -1 \), \( y = 2(-1) - 1 = -3 \) (точка (-1, -3)).
   • Линия будет возрастать от левого нижнего угла к правому верхнему.

   Анализ возрастания/убывания:

   • Угловой коэффициент \( 2 > 0 \), следовательно, функция возрастает на всем множестве \( \mathbb{R} \).

Задача 2: Квадратные функции

1. Функция \( y = -2x^2 \)

   График:

   • Это парабола, открывающаяся вниз (так как перед \( x^2 \) стоит отрицательное число).
   • Вершина параболы будет в \( (0, 0) \), так как \( y = -2(0^2) = 0 \).
   • Подбор точек:
     • Если \( x = 1 \), \( y = -2(1^2) = -2 \) (точка (1, -2)).
     • Если \( x = -1 \), \( y = -2(-1^2) = -2 \) (точка (-1, -2)).
   • График будет выглядеть как перевернутая парабола.

   Анализ возрастания/убывания:

   • Функция убывает на промежутке \( (-\infty, 0) \) и возрастает на промежутке \( (0, \infty) \). Наивысшая точка (0, 0) — это максимальное значение функции.

2. Функция \( y = (x + 2)^2 - 1 \)

   График:

   • Это парабола, открывающаяся вверх.
   • Вершина параболы будет в точке (-2, -1) (получается из формулы \( (x + 2)^2 \)).
   • Подбор точек:
     • Если \( x = -2 \), \( y = (0)^2 - 1 = -1 \) (вершина).
     • Если \( x = -1 \), \( y = (1)^2 - 1 = 0 \) (точка (-1, 0)).
     • Если \( x = -3 \), \( y = (-1)^2 - 1 = 0 \) (точка (-3, 0)).
   • График будет выглядеть как обычная парабола.

   Анализ возрастания/убывания:

   • Функция убывает на промежутке \( (-\infty, -2) \) и возрастает на промежутке \( (-2, \infty) \).
   • Наименьшее значение функции (-1) достигается при \( x = -2 \).

Результаты

• Линейные функции:

  • \( y = -3x \): убывающая на \( \mathbb{R} \).
  • \( y = 2x - 1 \): возрастающая на \( \mathbb{R} \).

• Квадратные функции:

  • \( y = -2x^2 \): максимальная точка при \( (0, 0) \); убывает на \( (-\infty, 0) \) и возрастает на \( (0, \infty) \).
  • \( y = (x + 2)^2 - 1 \): наименьшая точка при \( (-2, -1) \); убывает на \( (-\infty, -2) \) и возрастает на \( (-2, \infty) \).