Найди cos ⁡ 𝑥 cosx , если sin ⁡ 𝑥 = − 84 10 sinx=− 10 84 ​ ​ и 18 0 ∘ < 𝑥 < 27 0 ∘ 180 ∘ <x<270 ∘ .

Для того чтобы найти значение \( \cos x \) при условии, что \( \sin x = -\frac{84}{10} \) и \( 180^\circ < x < 270^\circ \), сначала необходимо разобраться с данным значением синуса и углом.

Шаг 1: Проверка значения \( \sin x \)

Дадим уточнение по значению \( \sin x \): \[ \sin x = -\frac{84}{10} = -8.4 \] Это значение не может быть верным, так как функция синуса может принимать значения только в диапазоне от -1 до 1. Давайте предположим, что опечатка, и вместо \( -\frac{84}{10} \) имелось в виду \( -\frac{4}{5} \).

Шаг 2: Находим \( \cos x \)

По теореме Пифагора для тригонометрических функций у нас есть связь: \[ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \]

Мы знаем, что \( \sin x = -\frac{4}{5} \) (если это предположение правильно).

Подставим это значение в формулу: \[ \sin^2 x = \left(-\frac{4}{5}\right)^2 = \frac{16}{25} \] Подставим \( \sin^2 x \) в формулу: \[ \frac{16}{25} + \cos^2 x = 1 \]

Шаг 3: Решаем уравнение для \( \cos^2 x \)

Вычтем \( \frac{16}{25} \) из обеих сторон уравнения: \[ \cos^2 x = 1 - \frac{16}{25} \] Найдем общий знаменатель: \[ 1 = \frac{25}{25} \Rightarrow \cos^2 x = \frac{25}{25} - \frac{16}{25} = \frac{9}{25} \]

Шаг 4: Находим \( \cos x \)

Теперь извлекаем квадратный корень: \[ \cos x = \pm \sqrt{\frac{9}{25}} = \pm \frac{3}{5} \]

Шаг 5: Определяем знак \( \cos x \) в заданном диапазоне

Поскольку \( 180^\circ < x < 270^\circ \) (третий квадрант), в этом диапазоне значение косинуса будет отрицательным. Поэтому мы принимаем: \[ \cos x = -\frac{3}{5} \]

Ответ

Таким образом, значение \( \cos x \) равно: \[ \cos x = -\frac{3}{5} \]