Для того чтобы найти значение ( \cos x ) при условии, что ( \sin x = -\frac{84}{10} ) и ( 180^\circ < x < 270^\circ ), сначала необходимо разобраться с данным значением синуса и углом.
Шаг 1: Проверка значения ( \sin x )
Дадим уточнение по значению ( \sin x ):
[
\sin x = -\frac{84}{10} = -8.4
]
Это значение не может быть верным, так как функция синуса может принимать значения только в диапазоне от -1 до 1. Давайте предположим, что опечатка, и вместо ( -\frac{84}{10} ) имелось в виду ( -\frac{4}{5} ).
Шаг 2: Находим ( \cos x )
По теореме Пифагора для тригонометрических функций у нас есть связь:
[
\sin^2 x + \cos^2 x = 1
]
Мы знаем, что ( \sin x = -\frac{4}{5} ) (если это предположение правильно).
Подставим это значение в формулу:
[
\sin^2 x = \left(-\frac{4}{5}\right)^2 = \frac{16}{25}
]
Подставим ( \sin^2 x ) в формулу:
[
\frac{16}{25} + \cos^2 x = 1
]
Шаг 3: Решаем уравнение для ( \cos^2 x )
Вычтем ( \frac{16}{25} ) из обеих сторон уравнения:
[
\cos^2 x = 1 - \frac{16}{25}
]
Найдем общий знаменатель:
[
1 = \frac{25}{25} \Rightarrow \cos^2 x = \frac{25}{25} - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}
]
Шаг 4: Находим ( \cos x )
Теперь извлекаем квадратный корень:
[
\cos x = \pm \sqrt{\frac{9}{25}} = \pm \frac{3}{5}
]
Шаг 5: Определяем знак ( \cos x ) в заданном диапазоне
Поскольку ( 180^\circ < x < 270^\circ ) (третий квадрант), в этом диапазоне значение косинуса будет отрицательным. Поэтому мы принимаем:
[
\cos x = -\frac{3}{5}
]
Ответ
Таким образом, значение ( \cos x ) равно:
[
\cos x = -\frac{3}{5}
]
