В арифметической прогрессии 16 членов. Сумма членов, стоящих на нечётных местах, равна 232, а сумма членов с чётными номерами равна 208. Найдите первый член и разность прогрессии.
Для решения задачи нам нужно использовать свойства арифметической прогрессии (АП).
В арифметической прогрессии \( a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n \) первый член обозначаем как \( a_1 \), а разность как \( d \). Члены прогрессии можно записать как:
- \( a_1 \) (1-й член)
- \( a_2 = a_1 + d \) (2-й член)
- \( a_3 = a_1 + 2d \) (3-й член)
- \( a_4 = a_1 + 3d \) (4-й член)
- и так далее...
Теперь у нас есть 16 членов в АП. Мы можем выделить члены, стоящие на нечётных и чётных местах.
Члены на нечётных местах:
- \( a_1, a_3, a_5, a_7, a_9, a_{11}, a_{13}, a_{15} \)
Сумма этих членов: \[ S_{нечетные} = a_1 + (a_1 + 2d) + (a_1 + 4d) + (a_1 + 6d) + (a_1 + 8d) + (a_1 + 10d) + (a_1 + 12d) + (a_1 + 14d) \] Это можно упростить: \[ S_{нечетные} = 8a_1 + (0 + 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14)d = 8a_1 + 56d \]
По условию, эта сумма равна 232: \[ 8a_1 + 56d = 232 \quad (1) \]
Члены на чётных местах:
- \( a_2, a_4, a_6, a_8, a_{10}, a_{12}, a_{14}, a_{16} \)
Сумма этих членов: \[ S_{четные} = (a_1 + d) + (a_1 + 3d) + (a_1 + 5d) + (a_1 + 7d) + (a_1 + 9d) + (a_1 + 11d) + (a_1 + 13d) + (a_1 + 15d) \] Упрощаем: \[ S_{четные} = 8a_1 + (1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15)d = 8a_1 + 64d \]
По условию, эта сумма равна 208: \[ 8a_1 + 64d = 208 \quad (2) \]
Решение системы:
Теперь решим систему уравнений (1) и (2):
- \( 8a_1 + 56d = 232 \)
- \( 8a_1 + 64d = 208 \)
Из уравнения (2) можем выразить \( 8a_1 \): \[ 8a_1 = 208 - 64d \quad (3) \]
Теперь подставим (3) в (1): \[ 208 - 64d + 56d = 232 \] Соберем похожие члены: \[ 208 - 8d = 232 \] Переносим \( 208 \): \[ -8d = 232 - 208 \\ -8d = 24 \\ d = -3 \]
Теперь подставим \( d = -3 \) в уравнение (3) для нахождения \( a_1 \): \[ 8a_1 = 208 - 64 \cdot (-3) \\ 8a_1 = 208 + 192 \\ 8a_1 = 400 \\ a_1 = \frac{400}{8} \\ a_1 = 50 \]
Ответ:
Первый член \( a_1 = 50 \), разность прогрессии \( d = -3 \).
