Для решения задачи нам нужно использовать свойства арифметической прогрессии (АП).
В арифметической прогрессии ( a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n ) первый член обозначаем как ( a_1 ), а разность как ( d ). Члены прогрессии можно записать как:
- ( a_1 ) (1-й член)
- ( a_2 = a_1 + d ) (2-й член)
- ( a_3 = a_1 + 2d ) (3-й член)
- ( a_4 = a_1 + 3d ) (4-й член)
- и так далее...
Теперь у нас есть 16 членов в АП. Мы можем выделить члены, стоящие на нечётных и чётных местах.
Члены на нечётных местах:
- ( a_1, a_3, a_5, a_7, a_9, a_{11}, a_{13}, a_{15} )
Сумма этих членов:
[
S_{нечетные} = a_1 + (a_1 + 2d) + (a_1 + 4d) + (a_1 + 6d) + (a_1 + 8d) + (a_1 + 10d) + (a_1 + 12d) + (a_1 + 14d)
]
Это можно упростить:
[
S_{нечетные} = 8a_1 + (0 + 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14)d = 8a_1 + 56d
]
По условию, эта сумма равна 232:
[
8a_1 + 56d = 232 \quad (1)
]
Члены на чётных местах:
- ( a_2, a_4, a_6, a_8, a_{10}, a_{12}, a_{14}, a_{16} )
Сумма этих членов:
[
S_{четные} = (a_1 + d) + (a_1 + 3d) + (a_1 + 5d) + (a_1 + 7d) + (a_1 + 9d) + (a_1 + 11d) + (a_1 + 13d) + (a_1 + 15d)
]
Упрощаем:
[
S_{четные} = 8a_1 + (1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15)d = 8a_1 + 64d
]
По условию, эта сумма равна 208:
[
8a_1 + 64d = 208 \quad (2)
]
Решение системы:
Теперь решим систему уравнений (1) и (2):
- ( 8a_1 + 56d = 232 )
- ( 8a_1 + 64d = 208 )
Из уравнения (2) можем выразить ( 8a_1 ):
[
8a_1 = 208 - 64d \quad (3)
]
Теперь подставим (3) в (1):
[
208 - 64d + 56d = 232
]
Соберем похожие члены:
[
208 - 8d = 232
]
Переносим ( 208 ):
[
-8d = 232 - 208 \
-8d = 24 \
d = -3
]
Теперь подставим ( d = -3 ) в уравнение (3) для нахождения ( a_1 ):
[
8a_1 = 208 - 64 \cdot (-3) \
8a_1 = 208 + 192 \
8a_1 = 400 \
a_1 = \frac{400}{8} \
a_1 = 50
]
Ответ:
Первый член ( a_1 = 50 ), разность прогрессии ( d = -3 ).
